#quantique

J’ai participé, il y a un peu plus d’un mois, à une session sur « Etat des lieux de l’informatique Quantique en France » organisée à Paris. A part la présence de différents acteurs, il y avait surtout Maud Vinet, ex-responsable du quantum computing au CEA et considérée comme la tête chercheuse du quantique en France (c’est surtout pour sa présence que j’ai fait le déplacement).

Quelques mots du livre que je termine à propos d'ego, de réalités, de dimensions, de conscience...

"L'ultime convergence"

Pictured here is a quantum bit & quantum computing is technology based on the principles of quantum theory which explains the nature of energy & matter on the subatomic level. It relies on the existence of mind-bending quantum-mechanical phenomena, such as the theories of superposition & entanglement. You can read and learn more about these topics on our website - www.fftmjournal.com

Pour enterrer l’état quantique du monde

Où nous aurions été Ici et là Jeunes et 

Vieux Demain et hier

Il fallait choisir une seule

Épitaphe

La réalisation de figures d’interférence avec des électrons a grandement contribué à valider la thèse de la dualité entre ondes et particules proposée par Louis de Broglie en 1924. Les interférences permettent de tester certaines des prédictions les plus contre-intuitives de la physique quantique. Les quelques exemples qui suivent vont donner un aperçu des abîmes de perplexité que les expériences menées sur les interférences peuvent ouvrir.

Partons d'un dispositif simple. Il est composé d’un laser qui peut émettre les photons à une cadence modulable, un miroir semi-réfléchissant, deux miroirs et un écran composé d’une matrice de capteurs (voir figure 1). Il reproduit de manière différente l’expérience des fentes de Young. Le faisceau émis par le laser se sépare en deux parties, l’une suit le chemin direct (chemin 1) et l’autre le chemin réfléchi (chemin 2). Une figure d’interférence se forme sur l’écran.

                                Fig. 1 : Interféromètre quantique.

Si on ralentit la cadence d’émission de sorte qu’il ne puisse jamais y avoir plus d’un photon « en circulation » dans le dispositif, le bon sens nous dit qu’il ne devrait plus y avoir d’interférence. Le faisceau étant composé de photons, chaque photon devrait passer par un chemin ou par l’autre. La physique quantique nous dit le contraire… et l’expérience démontre qu’elle a raison. Au bout d’un nombre suffisant de tirs, on voit se former une figure d’interférence. Tout se passe, comme le suggère Richard Feynman, comme si chaque photon empruntait les deux chemins à la fois.

L’explication de Feynman est dérangeante… Pour en avoir le cœur net, introduisons un détecteur de passage dans l’un des chemins pour savoir par où passe effectivement le photon (voir figure 2). Pas de chance : dans ce cas, la figure d’interférence disparaît. Feynman semble avoir raison : à partir du moment où on cherche à savoir par où passe les photons, on élimine la possibilité qu’ils puissent passer simultanément par les deux chemins. Tout se passe comme si « on les forcait à faire un choix ».

     Fig. 2 : Interféromètre quantique avec détecteur du chemin emprunté.

Ce résultat est passablement intriguant. Le physicien John Wheeler a cherché à en savoir plus. En effet, l’expérience met en évidence une alternative :

Lorsqu’il est complètement libre de choisir le chemin qu’il peut emprunter, le photon passe par tous les chemins possibles.

Lorsqu’on l’oblige à signaler son passage, le photon n’emprunte qu’un seul chemin.

Dès lors on peut se poser la question : à quel moment l’alternative est-elle tranchée ? Quand se fait le choix ? Pour le savoir, Wheeler a imaginé un dispositif diabolique (figure 3). On utilise un détecteur de passage télécommandable. On peut l’activer ou l’éteindre à volonté. Lorsqu’il est activé, le photon signale son passage, lorsqu’il est éteint, le photon passe incognito.

Autrement dit, lorsqu’il est activé, on se trouve dans la configuration où il n’y a pas d’interférence, lorsqu’il est éteint dans celle où il y a interférence. L’écran étant constitué d’une matrice de capteurs, on peut associer à chaque impact l’état du détecteur lors du passage du photon. On peut trier a posteriori les événements : reconstituer la figure correspondant aux photons furtifs et celle correspondant aux photons qui ont signalé leur passage. Le détecteur est commandé de manière aléatoire pour éviter tout biais. Pas de surprise : le groupe des photons furtifs (ceux pour lesquels le détecteur était éteint) donne bien une figure d’interférence, l’autre groupe n’en donne pas.

            Fig. 3 : Interféromètre quantique avec choix retardé.

L’expérience proposée par Wheeler permet d’aller plus loin. Il imagine de synchroniser le détecteur avec le laser tout en introduisant un retard dans sa commande. De la sorte, on s’assure que l’état du détecteur est décidé après que le photon a franchi le miroir semi-réfléchissant. Pour chaque photon, la séquence est la suivante :

Le photon est tiré.

Il franchit le miroir semi-réfléchissant. Le bon sens voudrait que ce soit à ce moment là qu’il ait fait le choix de passer par l’un des chemins ou par les deux à la fois.

Il continue son parcours.

La synchro autorise le basculement du détecteur dans l’état allumé ou éteint en fonction du signal en provenance du générateur de signal aléatoire.

Le photon traverse le détecteur.

Il atteint l’écran qui mémorise la position de l’impact et l’état du détecteur.

On procède à de nombreux tirs avant de dépouiller les résultats.

Cette expérience a été réalisée. On l’appelle expérience à choix retardé. Le résultat est carrément décoiffant : on retrouve bien une figure d’interférence pour les photons furtifs et pas d’interférence pour les autres. Tout de passe comme si, tant que la mesure finale n’a pas été effectuée, toutes les histoires restaient virtuellement possibles, autorisant a posteriori la sélection des seules histoires compatibles avec le choix fait au dernier moment.

Au fou ! Marlan Scully et Kai Drülh ont poussé la logique encore plus loin. Ils ont repris l’expérience en remplaçant le détecteur par un autre dispositif de marquage, un polarisateur qui introduit une polarisation différente suivant le chemin emprunté (figure 4). Il est dès lors possible, à condition d’avoir des capteurs adaptés, de connaître le chemin parcouru par chaque photon lors de son impact sur l’écran. Pas de surprise : il n’y a dans ce cas pas d’interférence. 

                   Fig. 4 : Interféromètre quantique et polariseurs.

Mais que se passe t-il (figure 5) si l’on « gomme » l’information juste avant l’écran ? Scully ont Drülh réalisé l’expérience (dite de la gomme quantique). La figure d’interférence réapparaît ! Le marquage des photons n’a donc rien d’irréversible. Il est possible de gommer le marquage. Les photons polarisés conservent avec eux leur cortège d’histoires virtuelles… Scully et Drülh ont raffiné l’expérience de Wheeler (figure 6). Ils ont utilisé des convertisseurs bas, un dispositif qui permet de créer deux photons à partir d’un seul tout en tout en dupliquant (à la fréquence près, conservation de l’énergie oblige) l’état quantique du photon incident. On crée ainsi un photon témoin dont l’état quantique est identique à celui du photon signal. Ceci permet, en jouant sur la longueur du trajet effectué par le photon témoin, de retarder après l’impact du photon “signal” la détection éventuelle du photon témoin ! 

                Fig. 5 : Interféromètre quantique et gomme quantique.

Aussi incroyable que cela puisse paraître, la logique démente de la physique quantique continue de s’appliquer… Scully et Drülh sont allés jusqu’à combiner gomme quantique et choix retardé, le tout avec une pincée de tirage aléatoire (voir l’article Expérience de la gomme quantique à choix retardé sur Wikipedia ainsi que la description faite par Brian Greene dans son livre La magie du cosmos).

        Fig. 6 : Interféromètre quantique avec choix retardé après impact.

Ces expériences, comme celle d’Alain Aspect sur les photons intriqués, défient l’entendement. De nombreux physiciens et philosophes (et quelques charlatans) se sont hasardés à tenter de les interpréter. Je laisse au lecteur le soin de lire l’abondante littérature à ce sujet.

Pour en savoir plus :

Amalie Emmy Noether est une mathématicienne allemande décrite par Albert Einstein comme « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures ». Le théorème de Noether joue un rôle central en mécanique quantique.

Le théorème de Noether démontre qu’il y a équivalence entre la conservation d’une grandeur en physique classique et l’existence d’une classe de transformations qui laisse invariante les lois physiques d’un système. L’invariance des lois physiques d’un système dans une transformation porte le nom de symétrie du système.

Nous allons démontrer le théorème de Noether dans un cas particulier : l’équivalence ente l'invariance par translation dans le temps et la conservation de l'énergie.

Soit L(q,q_point) le Lagrangien d’un système quelconque. La condition de symétrie par rapport au temps induit qu’il ne doit pas dépendre explicitement du temps. Sa dérivée par rapport au temps ne doit donc pas contenir de terme en dL/dt :

Combinons cette formule avec l’équation d’Euler-Lagrange :

Il vient :

Ceci conduit à l’équation remarquable suivante :

On peut donc déduire de la seule condition de symétrie par rapport au temps que l’expression suivante :

est invariante. On vérifie facilement que cette expression est celle de la conservation de l’énergie du système.

On peut démontrer de la même façon que :

l'invariance par translation dans l'espace selon une direction donnée entraîne la conservation de la quantité de mouvement dans la même direction ;

l'invariance par rotation dans l'espace entraîne la conservation du moment angulaire ;

dans la théorie de la relativité restreinte, l’invariance par transformation de Lorentz entraîne la conservation du vecteur énergie-impulsion.

Symétries en mécanique quantique

Soit une symétrie S et un opérateur A définis dans un espace de Hilbert. Par définition de la symétrie on peut écrire : 

En mécanique quantique, les symétries sont souvent associées à un groupe de Lie (voir les posts consacrés aux groupes de Lie). Dans ce cas S peut être représenté par un opérateur unitaire U(g), g faisant partie d’un groupe G :

Si le groupe G est continu et différentiable, on peut exprimer U en fonction d’un paramètre réel tau et d’un générateur infinitésimal du groupe de symétrie qui prend la forme d’un opérateur hermitien B :

Un opérateur hermitien peut être associé à une observable, c’est-à-dire à un opérateur de mesure. Si le système est invariant, son hamiltonien est laissé inchangé par l’application de l’opérateur unitaire U. Cela se traduit par le fait que l’opérateur hamiltonien commute avec B.

Théorème d’Erhenfest

Soit Bmoy la valeur moyenne du résultat des mesures obtenues avec l’opérateur B :

Nous allons nous intéresser à son évolution dans le temps :

L’équation de Schrödinger nous permet d’écrire : 

Comme par ailleurs :

il vient :

On obtient donc le résultat tout à fait fondamental suivant : non seulement B agit comme un générateur infinitésimal de la symétrie mais, en tant qu’observable, B est associé à une quantité physique conservée dans le temps. C’est la transcription en physique quantique du théorème de Noether.

On entrevoit ici le caractère particulièrement puissant du formalisme de l’algèbre de Lie en mécanique quantique. Il permet de d’associer aux opérateurs de symétrie une observable correspondant à une grandeur physique conservée au cours des évolutions du système !

Nota : Paul Erhenfest est un physicien autrichien, ami de Bohr et d’Einstein, qui contribua au développement de la mécanique quantique.

Pour en savoir plus :

posts sur la mécanique quantique 

post sur le formalisme quantique

post sur les espaces vectoriels et les groupes de Lie

post sur les algèbres de Lie

formalisme quantique

groupes et algèbre de Lie