#hdquant

La réalisation de figures d’interférence avec des électrons a grandement contribué à valider la thèse de la dualité entre ondes et particules proposée par Louis de Broglie en 1924. Les interférences permettent de tester certaines des prédictions les plus contre-intuitives de la physique quantique. Les quelques exemples qui suivent vont donner un aperçu des abîmes de perplexité que les expériences menées sur les interférences peuvent ouvrir.

Partons d'un dispositif simple. Il est composé d’un laser qui peut émettre les photons à une cadence modulable, un miroir semi-réfléchissant, deux miroirs et un écran composé d’une matrice de capteurs (voir figure 1). Il reproduit de manière différente l’expérience des fentes de Young. Le faisceau émis par le laser se sépare en deux parties, l’une suit le chemin direct (chemin 1) et l’autre le chemin réfléchi (chemin 2). Une figure d’interférence se forme sur l’écran.

                                Fig. 1 : Interféromètre quantique.

Si on ralentit la cadence d’émission de sorte qu’il ne puisse jamais y avoir plus d’un photon « en circulation » dans le dispositif, le bon sens nous dit qu’il ne devrait plus y avoir d’interférence. Le faisceau étant composé de photons, chaque photon devrait passer par un chemin ou par l’autre. La physique quantique nous dit le contraire… et l’expérience démontre qu’elle a raison. Au bout d’un nombre suffisant de tirs, on voit se former une figure d’interférence. Tout se passe, comme le suggère Richard Feynman, comme si chaque photon empruntait les deux chemins à la fois.

L’explication de Feynman est dérangeante… Pour en avoir le cœur net, introduisons un détecteur de passage dans l’un des chemins pour savoir par où passe effectivement le photon (voir figure 2). Pas de chance : dans ce cas, la figure d’interférence disparaît. Feynman semble avoir raison : à partir du moment où on cherche à savoir par où passe les photons, on élimine la possibilité qu’ils puissent passer simultanément par les deux chemins. Tout se passe comme si « on les forcait à faire un choix ».

     Fig. 2 : Interféromètre quantique avec détecteur du chemin emprunté.

Ce résultat est passablement intriguant. Le physicien John Wheeler a cherché à en savoir plus. En effet, l’expérience met en évidence une alternative :

Lorsqu’il est complètement libre de choisir le chemin qu’il peut emprunter, le photon passe par tous les chemins possibles.

Lorsqu’on l’oblige à signaler son passage, le photon n’emprunte qu’un seul chemin.

Dès lors on peut se poser la question : à quel moment l’alternative est-elle tranchée ? Quand se fait le choix ? Pour le savoir, Wheeler a imaginé un dispositif diabolique (figure 3). On utilise un détecteur de passage télécommandable. On peut l’activer ou l’éteindre à volonté. Lorsqu’il est activé, le photon signale son passage, lorsqu’il est éteint, le photon passe incognito.

Autrement dit, lorsqu’il est activé, on se trouve dans la configuration où il n’y a pas d’interférence, lorsqu’il est éteint dans celle où il y a interférence. L’écran étant constitué d’une matrice de capteurs, on peut associer à chaque impact l’état du détecteur lors du passage du photon. On peut trier a posteriori les événements : reconstituer la figure correspondant aux photons furtifs et celle correspondant aux photons qui ont signalé leur passage. Le détecteur est commandé de manière aléatoire pour éviter tout biais. Pas de surprise : le groupe des photons furtifs (ceux pour lesquels le détecteur était éteint) donne bien une figure d’interférence, l’autre groupe n’en donne pas.

            Fig. 3 : Interféromètre quantique avec choix retardé.

L’expérience proposée par Wheeler permet d’aller plus loin. Il imagine de synchroniser le détecteur avec le laser tout en introduisant un retard dans sa commande. De la sorte, on s’assure que l’état du détecteur est décidé après que le photon a franchi le miroir semi-réfléchissant. Pour chaque photon, la séquence est la suivante :

Le photon est tiré.

Il franchit le miroir semi-réfléchissant. Le bon sens voudrait que ce soit à ce moment là qu’il ait fait le choix de passer par l’un des chemins ou par les deux à la fois.

Il continue son parcours.

La synchro autorise le basculement du détecteur dans l’état allumé ou éteint en fonction du signal en provenance du générateur de signal aléatoire.

Le photon traverse le détecteur.

Il atteint l’écran qui mémorise la position de l’impact et l’état du détecteur.

On procède à de nombreux tirs avant de dépouiller les résultats.

Cette expérience a été réalisée. On l’appelle expérience à choix retardé. Le résultat est carrément décoiffant : on retrouve bien une figure d’interférence pour les photons furtifs et pas d’interférence pour les autres. Tout de passe comme si, tant que la mesure finale n’a pas été effectuée, toutes les histoires restaient virtuellement possibles, autorisant a posteriori la sélection des seules histoires compatibles avec le choix fait au dernier moment.

Au fou ! Marlan Scully et Kai Drülh ont poussé la logique encore plus loin. Ils ont repris l’expérience en remplaçant le détecteur par un autre dispositif de marquage, un polarisateur qui introduit une polarisation différente suivant le chemin emprunté (figure 4). Il est dès lors possible, à condition d’avoir des capteurs adaptés, de connaître le chemin parcouru par chaque photon lors de son impact sur l’écran. Pas de surprise : il n’y a dans ce cas pas d’interférence. 

                   Fig. 4 : Interféromètre quantique et polariseurs.

Mais que se passe t-il (figure 5) si l’on « gomme » l’information juste avant l’écran ? Scully ont Drülh réalisé l’expérience (dite de la gomme quantique). La figure d’interférence réapparaît ! Le marquage des photons n’a donc rien d’irréversible. Il est possible de gommer le marquage. Les photons polarisés conservent avec eux leur cortège d’histoires virtuelles… Scully et Drülh ont raffiné l’expérience de Wheeler (figure 6). Ils ont utilisé des convertisseurs bas, un dispositif qui permet de créer deux photons à partir d’un seul tout en tout en dupliquant (à la fréquence près, conservation de l’énergie oblige) l’état quantique du photon incident. On crée ainsi un photon témoin dont l’état quantique est identique à celui du photon signal. Ceci permet, en jouant sur la longueur du trajet effectué par le photon témoin, de retarder après l’impact du photon “signal” la détection éventuelle du photon témoin ! 

                Fig. 5 : Interféromètre quantique et gomme quantique.

Aussi incroyable que cela puisse paraître, la logique démente de la physique quantique continue de s’appliquer… Scully et Drülh sont allés jusqu’à combiner gomme quantique et choix retardé, le tout avec une pincée de tirage aléatoire (voir l’article Expérience de la gomme quantique à choix retardé sur Wikipedia ainsi que la description faite par Brian Greene dans son livre La magie du cosmos).

        Fig. 6 : Interféromètre quantique avec choix retardé après impact.

Ces expériences, comme celle d’Alain Aspect sur les photons intriqués, défient l’entendement. De nombreux physiciens et philosophes (et quelques charlatans) se sont hasardés à tenter de les interpréter. Je laisse au lecteur le soin de lire l’abondante littérature à ce sujet.

Pour en savoir plus :

L’expérience de Stern et Gerlach

L’expérience de Stern et Gerlach joue un rôle particulier dans l’histoire de la physique quantique. En 1922, Niels Bohr multiplie les conférences et les séminaires pour rallier les scientifiques à sa vision de la matière. Sa théorie semi-classique d’un atome entouré d’électrons en orbite manque cependant de cohérence. Comment expliquer les niveaux d’énergie ainsi que les trois nombres quantiques qu’elle postule ? Pourquoi les électrons ne « tombent » ils pas sur le noyau. C’est à ce moment qu’intervient l’expérience montée par Otto Stern et Walther Gerlach. Elle met en évidence l’existence d’un moment cinétique intrinsèque des particules élémentaires (le spin), un moment cinétique dont les caractéristiques sont inexplicables dans le cadre de la physique classique. Elle montre surtout qu’on ne peut plus se contenter d‘un simple replâtrage de la théorie pour décrire le comportement des électrons au sein des atomes. Il va falloir au contraire revoir de fond en comble les bases de la physique. En ce sens, elle ouvre un immense chantier qui occupera les physiciens les plus brillants de leur génération pendant les dix années qui vont suivre.

L’expérience de Stern et Gerlach consiste à faire passer un faisceau d’atomes d’argent dans un champ magnétique orienté verticalement. Contre toute attente, ce faisceau est séparé en deux demi-faisceaux d’égale intensité déviés de manière symétrique. Or le moment magnétique orbital des atomes d’argent est supposé être nul, le faisceau ne devrait subir aucune déviation. Cette expérience montre au contraire que les atomes d’argent possèdent un moment cinétique intrinsèque en plus de leur moment cinétique orbital. Mais ce n’est pas tout : quelle que soit la direction dans laquelle on cherche à mesurer ce moment (c’est-à-dire quelle que soit l’orientation du champ magnétique transversal appliqué au dispositif), on trouve le même résultat ! Le faisceau est toujours séparé en deux demi-faisceaux d’intensité égale déviés symétriquement. Comme si ce moment cinétique ne pouvait prendre que deux valeurs quelle que soit sa direction et ce quelle que soit sa direction.

Si Wolfgang Pauli avait eu l’intuition qu’il était nécessaire de compléter le modèle de Bohr par un quatrième nombre qui ne peut prendre que deux valeurs différentes, il revient cependant à Samuel Goudsmit et George Uhlenbeck de donner en 1925 la première interprétation « quantique » de cette étrange propriété de l’électron.

Allons plus loin...

Poussons plus loin les investigations et intéressons-nous à un seul des deux demi-faisceaux. Si on lui applique à nouveau le même protocole (un champ magnétique transversal), on pourrait s’attendre à ce que tous les atomes de ce demi-faisceau réagissent de la même façon. Or ce n’est pas le cas. Si le champ appliqué est perpendiculaire au champ qui a servi à séparer en deux parties le faisceau initial, le demi-faisceau auquel on s’intéresse est à nouveau séparé en deux demi-faisceaux d’intensité égale déviés symétriquement. Si le champ fait un angle theta avec le champ initial, même déviation symétrique en deux demi-faisceaux mais cette fois l’intensité des deux demi-faisceaux diffère : elle vaut cos2(theta) pour l’un et sin2(theta) pour l’autre.

Un tel comportement est incompréhensible dans un cadre classique, voire semi-classique. Le spin est une grandeur physique de nature purement quantique. Ces propriétés ne peuvent être décrites qu’au travers du formalisme quantique  (voir le post consacré au formalisme quantique).

Quelle représentation du spin ?

Comme nous venons de le dire, le spin d’une particule ne peut prendre que deux valeurs lorsqu’on le mesure dans une direction donnée :

De prime abord, cette représentation vectorielle du spin dans l’espace euclidien R3 parait tout à fait adaptée. Problème : elle ne répond pas aux critères du formalisme quantique tels que nous les avons décrits. La représentation d’un objet quantique doit se faire dans une base orthogonale constituée à partir des vecteurs propres de l’opérateur correspondant à la propriété que l’on cherche étudier (voir le post sur le formalisme quantique). Les deux vecteurs + S et – S ci-dessus sont incontestablement les vecteurs propres de l’opérateur spin. Ce n’est pas le cas si on se place dans une représentation vectorielle dans R3. Celle-ci ne convient pas.

Reprenons le problème à la base… Comme nous l’avons vu, l’état d’un objet quantique (ici un atome d’argent) est décrit par une fonction d’onde |psi> qui est un vecteur dans un espace vectoriel complexe appelé espace de Hilbert. La dimension de cet espace est déterminée par le nombre d’états indépendants possibles de cet objet. Dans le cas du spin des atomes d’argent de l’expérience de Stern et Gerlach, cet espace est donc un espace complexe de dimension 2.

Appelons Hspin cet espace. Supposons que nous mesurions le spin dans la direction de l’axe Oz. Les deux états de spin possibles |+z> et |-z> forment donc une base de cet espace. Ce qui revient à dire que les deux vecteurs |+z> et |-z> sont deux vecteurs orthogonaux de l’espace Hspin. La correspondance entre la représentation du moment cinétique de l’atome d’argent dans R3 et son vecteur d’état dans Hspin est donnée par le tableau qui suit : 

Mesure du spin dans une autre direction

Supposons maintenant que nous cherchions à mesurer le spin après avoir effectué une rotation du dispositif de mesure d’un angle theta autour de l’axe Oy. Dans l’espace euclidien R3, cette rotation peut être représentée par une matrice réelle de dimension 3x3 que nous appellerons Ry(theta). Quel sera le résultat de la mesure et comment cela se traduit-il dans l’espace des fonctions d’onde de spin Hspin ?

Pas de surprise côté mesure. Comme nous l’avons indiqué plus haut, la mesure du spin ne peut prendre que deux valeurs :

Si par exemple l’angle theta vaut pi/2 (mesure dans la direction de l’axe Ox), le résultat obtenu est parfaitement aléatoire, la probabilité de trouver l’une ou l’autre valeur est identique et égale à 50%. Le cas où l’angle theta est quelconque est plus intéressant. Comme nous l’avons indiqué, la probabilité de trouver l’une ou l’autre valeur en fonction de la mesure préalable dans la direction de l’axe Oz n’est plus égale à 50%. Elle dépend de la valeur de l’angle theta :

Qu’est-ce que ce résultat nous dit au sujet de la fonction d’onde de spin ? Les vecteurs |+Stheta> et |-Stheta> forment une base de l’espace Hspin au même titre que |+z> et |-z> . On peut donc décomposer la fonction d’onde d’une particule quelconque sur ces vecteurs propr

La probabilité de trouver l’une ou l’autre des valeurs est donnée par le carré du coefficient lambda correspondant. Dans le cas qui nous intéresse, on peut donc écrire :

(La seule connaissance de la probabilité ne permet pas de déterminer le signe des coefficients.) On peut exprimer ceci en disant qu’à la rotation Ry(theta) dans R3 correspond un opérateur Ay(theta) agissant sur Hspin défini comme suit :

L’opérateur Ay(theta) a toutes les caractéristiques d’une rotation… mais à y regarder de plus près cette correspondance est très particulière :

la rotation Ry(theta) agit sur l’espace euclidien R3, espace vectoriel à trois dimensions réelles,

l’opérateur Ay(theta) agit sur l’espace Hspin, qui est un espace vectoriel complexe à deux dimensions complexes,

mais surtout Ry(theta) opère une rotation d’angle theta alors que Ay(theta) opère une rotation d’angle theta/2. 

Spineurs et algèbre de Lie

Pour ce qui concerne l’opérateur Ay(theta) on est en terrain connu (voir le post consacré aux espaces vectoriels et aux groupes de Lie). C’est une matrice 2x2 complexe. Elle fait partie d’un groupe appelé SU(2). Le groupe SU(2) est le groupe spécial unitaire des matrices 2x2 à coefficients complexes de déterminant 1 :

ce qui revient à écrire :

SU(2) est un groupe de Lie. Il joue un rôle très important en mécanique quantique car il est associé aux symétries sphériques. A chaque rotation d’un angle theta autour d’un vecteur unitaire u on peut en effet faire correspondre une matrice de SU(2) :

Mais que peut-on dire de l’espace de Hilbert Hspin sur lequel agissent les matrices de SU(2) ? Là, c’est moins évident, il va falloir s’accrocher… L’espace Hspin est un espace spinoriel. La théorie des spineurs a été introduite par le mathématicien français Elie Cartan au début du XXème siècle. Les spineurs ont des propriétés assez déroutantes. (Nous aborderons les rudiments de la théorie des spineurs dans un post séparé.) Un spineur peut être associé à un « plan orienté ». On peut définir un plan orienté à partir de deux vecteurs unitaires orthogonaux : 

et du produit vectoriel de ces deux vecteurs. (L’ordre dans lequel on prend ces deux vecteurs est donc déterminant.) Il est facile de voir que cette définition est tout à fait adaptée au contexte du moment cinétique. La propriété la plus emblématique d’un spineur est qu’une rotation de 360 degrés le transforme en son inverse ! Il faut donc une rotation de 720 degrés pour revenir au spineur d’origine. 

Matrices de Pauli

Revenons au groupe SU(2). L’une des propriétés de SU(2) est la possibilité de générer les matrices de ce groupe à partir de 3 matrices élémentaires. Prenons par exemple le cas de l’opérateur Ay(theta). Un simple développement limité suffit à se convaincre qu’on peut l’écrire sous la forme suivante :

En fait, on peut montrer que toute matrice de SU(2) peut être générée à partir de matrices unitaires sigma :

avec :

Les matrices sigmax, sigmay et sigmaz sont appelées matrices de Pauli, du nom du physicien Wolfgang Pauli qui est le premier à avoir établi une théorie complète du spin dans un cadre non-relativiste. Or, il est facile de voir que les vecteurs propres de ces matrices sigma sont précisément les vecteurs |+x>, |-x>, |+y>, |-y> et |+z> et |-z> correspondant aux opérateurs de mesure de spin dans les directions Ox, Oy et Oz ! 

Les matrices de Pauli constituent donc une base qui permet de construire simplement une observable « spin » dans n’importe quelle direction de l’espace. 

Matrices de Pauli et symétrie de rotation

Dans la présentation qui précède, les matrices de Pauli semblent « sortir du chapeau ». Une présentation plus rigoureuse aurait permis de faire la liaison entre ces matrices et l’application d’un principe très général en physique, établi par la mathématicienne Emmy Noether au début du XXème siècle. Emmy Noether a en effet montré qu’à toute symétrie était associée la conservation d’une grandeur physique (théorème de Noether). C’est ainsi qu’à la symétrie de translation (les lois de la physique sont conservées dans toute translation du référentiel dans l’espace) est associée la conservation de la quantité de mouvement. De la même façon, à la symétrie de rotation dans l’espace (les lois de la physique sont conservées dans toute rotation du référentiel dans l’espace) est associée la conservation du moment cinétique. Or, comme nous l’avons dit plus haut, une rotation dans l’espace peut être représentée par une matrice du groupe SU(2) (que l’on appelle aussi d’ailleurs groupe de symétrie). Rien d’étonnant donc à ce que les opérateurs de mesure du spin puissent être directement déduits des matrices de Pauli puisque celle-ci forment une base à partir de laquelle on peut générer les matrices de ce groupe.

Remarque : Les matrices de Pauli ne commutent pas.  

Ceci signifie qu’il n’est pas possible de connaître simultanément la valeur de spin dans deux directions différentes. 

Pour en savoir plus :

post sur l'équation de Schrödinger 

post sur le formalisme quantique

post sur l’oscillateur harmonique quantique

post sur les espaces vectoriels et les groupes de Lie

post sur les algèbres de Lie

post sur les spineurs

post sur le théorème de Noether

post sur l’équation de Dirac

L’équation de Schrödinger ne présente pas toujours une solution analytique. Il existe cependant quelques cas pour lesquels on peut la résoudre. Parmi ceux-ci, deux présentent un grand intérêt pour la compréhension de la physique quantique :

l’oscillateur harmonique,

le cas d’une particule stationnaire dans un potentiel de symétrie sphérique, que nous avons évoqué dans le post sur les électrons.

L’oscillateur harmonique

L’oscillateur harmonique permet de se familiariser avec le formalisme quantique sur un exemple simple. Il montre comment on parvient à la notion de quantum d’énergie et pourquoi l’état d’énergie minimum n’est pas nécessairement nul.

Un oscillateur harmonique à une dimension est un système dont l’énergie potentielle peut s’écrire :

Son hamiltonien a la forme suivante :

Si l’on applique la relation d’indétermination de Heisenberg :

un développement simple permet de montrer que la valeur minimum du hamiltonien est telle que : 

Analysons cet oscillateur d’un point de vue quantique. L’opérateur hamiltonien (noté H) s’écrit :

Nota : Dans toute les formules qui suivent, l’accent circonflexe indique que l’on a affaire à un opérateur.

Dans la formule qui précède, x et p sont les opérateurs position et quantité de mouvement que nous avons déjà rencontrés dans un post précédent : 

L’opérateur hamiltonien peut s’écrire de manière plus simple en utilisant les opérateurs réduits X et P : 

X et P vérifient l’équation remarquable suivante :

[X, P] étant le commutateur de X et de P.

L’opérateur H peut s’écrire comme suit en fonction de X et P :

Valeurs propres et vecteurs propres de H

Nous allons chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de H : 

Pour cela nous allons introduire trois nouveaux opérateurs : l’opérateur a, son conjugué (noté avec une croix en exposant) et l’opérateur N : 

Le commutateur a et de a_conjugué est l’opérateur identité :

On démontre facilement que : 

Ceci conduit à écrire : 

On comprend pourquoi nous avons introduit l’opérateur N : les vecteurs propres de l’opérateur H sont aussi les vecteurs propres de l’opérateur N. Il nous suffit donc de rechercher les vecteurs propres de N. Nous les appellerons |nu> :

Comme on peut le voir, nous avons choisi de représenter les vecteurs propres par le même symbole que la valeur propre : c’est un choix purement arbitraire mais qui va se révéler bien pratique. Il convient cependant de bien garder en tête que |nu> est un vecteur de l’espace de Hilbert que nous avons décidé d’appeler ainsi par pure convention alors que nu est un nombre complexe ou réel. En fait, l’opérateur N est égal à son conjugué. On peut donc en déduire que les valeurs de N sont réelles. On peut en déduire que les valeurs propres de sont donc la forme :

avec nu réel.

Opérateur création et annihilation

Nous avons franchi une première étape mais, arrivés à ce point de notre raisonnement, rien ne nous dit que nu ne peut pas être quelconque. Pour aller plus loin, nous allons nous appuyer sur les propriétés de l’opérateur N. En particulier, on peut écrire : 

… et, de la même façon :

Appliquons le commutateur [N,a] à un vecteur propre de l’opérateur N :

Il vient :

On obtient le résultat remarquable suivant :

si |nu> est un vecteur propre de l’opérateur N, alors a|nu> est aussi un vecteur propre de N, et la valeur propre de a|nu> est (nu-1) ! Pour rester cohérent avec notre convention de nommage des vecteurs propres de N on peut donc écrire : 

Le coefficient alpha se calcule facilement :

On voit au passage que nu est nécessairement positif puisque alpha2 est positif. Il vient : 

On peut montrer de même que : 

Récapitulons :

L’opérateur a transforme le vecteur |nu> en un vecteur |nu-1>.

L’opérateur a_conjugué transforme le vecteur |nu> en un vecteur |nu+1>.

Considérons un vecteur propre |nu> quelconque de l’opérateur N. Sa valeur propre est un nombre réel nu. Appliquons à ce vecteur propre l’opérateur a autant de fois qu’il le faut. On obtient à chaque fois un nouveau vecteur propre de N dont la valeur propre est décrémentée de 1. Si nu n’est pas un nombre entier, nous finirions par obtenir une valeur propre négative, ce qui est contraire à ce que nous avons démontré un peu plus haut. Nous pouvons donc en conclure que les valeurs propres de N sont des entiers positifs.

Nous pouvons résumer tout ce qui précède de la manière suivante. Les états propres d’un oscillateur quantique sont tels que : 

avec nu entier et positif. L’état d’énergie minimum du système est : 

L’opérateur N peut donc être interprété comme étant l’opérateur nombre de quanta de l’oscillateur quantique.

Dès lors, l’opérateur a_conjugué apparaît comme un opérateur de création de quanta (il permet d’incrémenter le nombre de quanta). L’opérateur a quant à lui est un opérateur d’annihilation de quanta puisqu’il permet de décrémenter le nombre de quanta. 

La morale de cette histoire…

L’oscillateur quantique à une dimension est un cas d’école. Il est cependant très instructif. Il permet de comprendre comment on aboutit à la notion d’états discrets en partant du hamiltonien d’un système. Il montre également comment on peut passer d’un état à un autre par une opération de création ou d’annihilation de quanta. L’application à des systèmes représentatifs de la réalité est beaucoup plus complexe. Le principe reste cependant le même. Il permet de parvenir à un résultat similaire : des états quantiques discrets, le passage d’un état à un autre par création ou annihilation de quanta. 

Pour en savoir plus :

post sur les espaces vectoriels

post sur les notions de base des matrices

post sur les matrices (suite)

post sur l'équation de Schrödinger

post sur le formalisme quantique

post sur la superposition d’état

post sur l’intrication

La mécanique quantique nous contraint à un changement radical de paradigme. C’est le cas en particulier pour tout ce qui touche à la nature des grandeurs physiques. Dans la physique traditionnelle, celles-ci sont des propriétés intrinsèques des objets que l’on étudie. En mécanique quantique, ces grandeurs doivent être considérés comme des opérateurs qui agissent sur la fonction d’onde associée à l’objet en cours d’étude (voir le post consacré à l’équation de Schrödinger).

De fait, la mécanique quantique nous contraint à un certain degré d’abstractions. Comme nous l’avons vu au sujet de l’électron, il n’est plus possible de représenter une particule par ses trois coordonnées spatiales, les trois coordonnées de son vecteur impulsion et une coordonnée temporelle comme c’est le cas en mécanique classique. Le triplet (r, p, t) doit être remplacé par la fonction d’onde psi(r,t). Ceci signifie que l’espace dans lequel nous devons étudier cette particule n’est plus l’espace-temps de Minkowski mais l’espace de fonctions d’onde psi(r,t) !

Aïe ! Qu’est-ce que c’est que cet espace et comment allons-nous nous débrouiller…

Espace de Hilbert (parenthèse mathématique)

Heureusement pour nous, ce genre de problème a été traité par David Hilbert, qui est considéré comme le mathématicien le plus brillant du début du XXème siècle. C’est pourquoi on a donné à ce type d’espace le nom d’espace de Hilbert.

Un espace de Hilbert est un espace vectoriel dont les vecteurs (les éléments) sont des fonctions comme les fonctions psi(r,t). Pour représenter ces vecteurs, on utilise la notation suivante : 

Entendons-nous bien : |psi> n’est pas un vecteur de l’espace de Minkowski M. C’est un vecteur de l’espace de Hilbert associé à une fonction définie en tout point de M : 

Un opérateur est une application linéaire de l’espace de Hilbert dans lui-même : 

Les opérateurs énergie et impulsion que nous évoqués plus haut sont des opérateurs de ce type : 

On peut par exemple définir de la même façon un opérateur position :

On pourra constater au passage que l’opérateur position ne commute pas avec l’opérateur impulsion : 

1 étant l’opérateur identité.

Observables

De manière générale, à toutes les grandeurs physiques mesurables sont associées des opérateurs. Ceci étant dit, n’importe quel opérateur ne fait pas l’affaire. Pour avoir un sens physique, un opérateur doit avoir certaines propriétés. En particulier il doit être hermitien. En termes mathématiques, cela signifie qu’il est invariant dans une opération de transconjugaison (transposition + conjugaison) :

Si cet opérateur peut être noté sous forme matricielle, cela revient à dire que : 

La matrice A est alors diagonalisable :

U étant une matrice complexe unitaire et D une matrice diagonale réelle. On donne le nom d’observable à un tel opérateur.

Valeurs propres et vecteurs propres

Puisqu’on en est à remuer de vieux souvenirs à propos de nos cours sur les espaces vectoriels… Vous vous souvenez de la notion de vecteur propre et de valeur propre ? Si psi est un vecteur d’un espace vectoriel et qu’il existe un nombre (réel ou complexe) lambda tel que :

alors psi est un vecteur propre de l’opérateur A et lambda est la valeur propre associée. Si l’opérateur A est une observable, les valeurs propres sont réelles. Elles correspondent aux seules valeurs que peut prendre la mesure associée à l’observable A.

Ce que nous avions appris lors de nos cours sur les espaces vectoriels, c’est aussi que l’ensemble des vecteurs propres d’un opérateur formait une base de cet espace vectoriel. Autrement dit, quelque soit psi appartenant à notre espace de Hilbert H, on peut l’écrire sous la forme :  

les vecteurs psik étant les vecteurs propres d’un opérateur quelconque de H. Lorsque cet opérateur est une observable, cette propriété devient particulièrement intéressante. En effet, la probabilité de trouver la valeur lambdak associée au vecteur psik lorsqu’on effectue la mesure correspondant à cette observable est égale au carré de muk !

Fin de la parenthèse mathématique.

Retour dans le monde des particules

Revenons à nos moutons. Nous avons vu que l’équation de Schrödinger définissait un opérateur énergie et un opérateur impulsion pour décrire la dynamique de la fonction d’onde d’une particule. D’un point de vue mathématique, ces opérateurs agissent sur des vecteurs d’un espace de Hilbert. Cet espace est un espace vectoriel dont les vecteurs sont des fonctions d’onde. On peut vérifier facilement que les opérateurs énergie et impulsion sont des observables dans cet espace vectoriel. Tout vecteur de cet espace peut être décomposé sur une base constituée par les vecteurs propres associés à l’un de ces opérateurs, à l’opérateur énergie par exemple.

Ceci étant posé, vous allez me dire que tout cela est très artificiel. Cet opérateur (observable) énergie, introduit par Schrödinger, nous aurions tout aussi bien pu l’appeler opérateur Arthur. Il faut avoir sacrément confiance dans le pouvoir des maths pour prétendre qu’il a quelque chose à voir avec l’énergie dans le monde réel !

Et bien il se trouve que si l’on applique, par exemple, l’équation de Schrödinger à un potentiel coulombien, celui généré par le noyau d’un atome d’hydrogène par exemple, et que l’on recherche les valeurs propres de l’opérateur Ê… on retrouve les niveaux d’énergie E0, E1, E2… En… correspondant aux raies de Balmer ! Et les vecteurs psik correspondant ne sont autres que les vecteurs associés aux harmoniques sphériques évoquées lorsque nous avons décrit la structure du nuage électronique autour d’un noyau d’hydrogène. Etonnant, non ?

Tel est le nouveau paradigme de la mesure en mécanique quantique : à toute mesure est associée un opérateur quantique. Si cet opérateur possède des vecteurs propres, les seules valeurs de mesure possibles sont les valeurs propres associées à ces vecteurs propres.

De plus, certains opérateurs peuvent être affectés par des règles de non-commutativité. C’est le cas, par exemple, l’opérateur position ou l’opérateur impulsion :

Cela signifie que l’on n’obtient pas la même valeur si l’on mesure x avant p ou si l’on mesure x après p. Il existe un écart impossible à éliminer. C’est cette non-commutativité qui est à l’origine du principe d’indétermination d’Heisenberg !

Pour en savoir plus :

post sur les espaces vectoriels

post sur les notions de base des matrices

post sur les matrices (suite)

post sur l’équation de Schrödinger

post sur la superposition d’état

post sur l’intrication