Le théorÚme de Noether
Amalie Emmy Noether est une mathématicienne allemande décrite par Albert Einstein comme « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accÚs aux études supérieures ». Le théorÚme de Noether joue un rÎle central en mécanique quantique.
Le thĂ©orĂšme de Noether dĂ©montre quâil y a Ă©quivalence entre la conservation dâune grandeur en physique classique et lâexistence dâune classe de transformations qui laisse invariante les lois physiques dâun systĂšme. Lâinvariance des lois physiques dâun systĂšme dans une transformation porte le nom de symĂ©trie du systĂšme.
Nous allons dĂ©montrer le thĂ©orĂšme de Noether dans un cas particulier : lâĂ©quivalence ente l'invariance par translation dans le temps et la conservation de l'Ă©nergie.
Soit L(q,q_point) le Lagrangien dâun systĂšme quelconque. La condition de symĂ©trie par rapport au temps induit quâil ne doit pas dĂ©pendre explicitement du temps. Sa dĂ©rivĂ©e par rapport au temps ne doit donc pas contenir de terme en dL/dt :
Combinons cette formule avec lâĂ©quation dâEuler-Lagrange :
Il vient :
Ceci conduit Ă lâĂ©quation remarquable suivante :
On peut donc dĂ©duire de la seule condition de symĂ©trie par rapport au temps que lâexpression suivante :
est invariante. On vĂ©rifie facilement que cette expression est celle de la conservation de lâĂ©nergie du systĂšme.
On peut dĂ©montrer de la mĂȘme façon que :
l'invariance par translation dans l'espace selon une direction donnĂ©e entraĂźne la conservation de la quantitĂ© de mouvement dans la mĂȘme direction ;
l'invariance par rotation dans l'espace entraĂźne la conservation du moment angulaire ;
dans la thĂ©orie de la relativitĂ© restreinte, lâinvariance par transformation de Lorentz entraĂźne la conservation du vecteur Ă©nergie-impulsion.
Symétries en mécanique quantique
Soit une symĂ©trie S et un opĂ©rateur A dĂ©finis dans un espace de Hilbert. Par dĂ©finition de la symĂ©trie on peut Ă©crire :Â
En mĂ©canique quantique, les symĂ©tries sont souvent associĂ©es Ă un groupe de Lie (voir les posts consacrĂ©s aux groupes de Lie). Dans ce cas S peut ĂȘtre reprĂ©sentĂ© par un opĂ©rateur unitaire U(g), g faisant partie dâun groupe G :
Si le groupe G est continu et diffĂ©rentiable, on peut exprimer U en fonction dâun paramĂštre rĂ©el tau et dâun gĂ©nĂ©rateur infinitĂ©simal du groupe de symĂ©trie qui prend la forme dâun opĂ©rateur hermitien B :
Un opĂ©rateur hermitien peut ĂȘtre associĂ© Ă une observable, câest-Ă -dire Ă un opĂ©rateur de mesure. Si le systĂšme est invariant, son hamiltonien est laissĂ© inchangĂ© par lâapplication de lâopĂ©rateur unitaire U. Cela se traduit par le fait que lâopĂ©rateur hamiltonien commute avec B.
ThĂ©orĂšme dâErhenfest
Soit Bmoy la valeur moyenne du rĂ©sultat des mesures obtenues avec lâopĂ©rateur B :
Nous allons nous intéresser à son évolution dans le temps :
LâĂ©quation de Schrödinger nous permet dâĂ©crire :Â
Comme par ailleurs :
il vient :
On obtient donc le rĂ©sultat tout Ă fait fondamental suivant : non seulement B agit comme un gĂ©nĂ©rateur infinitĂ©simal de la symĂ©trie mais, en tant quâobservable, B est associĂ© Ă une quantitĂ© physique conservĂ©e dans le temps. Câest la transcription en physique quantique du thĂ©orĂšme de Noether.
On entrevoit ici le caractĂšre particuliĂšrement puissant du formalisme de lâalgĂšbre de Lie en mĂ©canique quantique. Il permet de dâassocier aux opĂ©rateurs de symĂ©trie une observable correspondant Ă une grandeur physique conservĂ©e au cours des Ă©volutions du systĂšme !
Nota : Paul Erhenfest est un physicien autrichien, ami de Bohr et dâEinstein, qui contribua au dĂ©veloppement de la mĂ©canique quantique.
Pour en savoir plus :
posts sur la mĂ©canique quantiqueÂ
post sur le formalisme quantique
post sur les espaces vectoriels et les groupes de Lie
post sur les algĂšbres de Lie
formalisme quantique
groupes et algĂšbre de Lie
index















