#hamiltonien

Amalie Emmy Noether est une mathématicienne allemande décrite par Albert Einstein comme « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures ». Le théorème de Noether joue un rôle central en mécanique quantique.

Le théorème de Noether démontre qu’il y a équivalence entre la conservation d’une grandeur en physique classique et l’existence d’une classe de transformations qui laisse invariante les lois physiques d’un système. L’invariance des lois physiques d’un système dans une transformation porte le nom de symétrie du système.

Nous allons démontrer le théorème de Noether dans un cas particulier : l’équivalence ente l'invariance par translation dans le temps et la conservation de l'énergie.

Soit L(q,q_point) le Lagrangien d’un système quelconque. La condition de symétrie par rapport au temps induit qu’il ne doit pas dépendre explicitement du temps. Sa dérivée par rapport au temps ne doit donc pas contenir de terme en dL/dt :

Combinons cette formule avec l’équation d’Euler-Lagrange :

Il vient :

Ceci conduit à l’équation remarquable suivante :

On peut donc déduire de la seule condition de symétrie par rapport au temps que l’expression suivante :

est invariante. On vérifie facilement que cette expression est celle de la conservation de l’énergie du système.

On peut démontrer de la même façon que :

l'invariance par translation dans l'espace selon une direction donnée entraîne la conservation de la quantité de mouvement dans la même direction ;

l'invariance par rotation dans l'espace entraîne la conservation du moment angulaire ;

dans la théorie de la relativité restreinte, l’invariance par transformation de Lorentz entraîne la conservation du vecteur énergie-impulsion.

Symétries en mécanique quantique

Soit une symétrie S et un opérateur A définis dans un espace de Hilbert. Par définition de la symétrie on peut écrire : 

En mécanique quantique, les symétries sont souvent associées à un groupe de Lie (voir les posts consacrés aux groupes de Lie). Dans ce cas S peut être représenté par un opérateur unitaire U(g), g faisant partie d’un groupe G :

Si le groupe G est continu et différentiable, on peut exprimer U en fonction d’un paramètre réel tau et d’un générateur infinitésimal du groupe de symétrie qui prend la forme d’un opérateur hermitien B :

Un opérateur hermitien peut être associé à une observable, c’est-à-dire à un opérateur de mesure. Si le système est invariant, son hamiltonien est laissé inchangé par l’application de l’opérateur unitaire U. Cela se traduit par le fait que l’opérateur hamiltonien commute avec B.

Théorème d’Erhenfest

Soit Bmoy la valeur moyenne du résultat des mesures obtenues avec l’opérateur B :

Nous allons nous intéresser à son évolution dans le temps :

L’équation de Schrödinger nous permet d’écrire : 

Comme par ailleurs :

il vient :

On obtient donc le résultat tout à fait fondamental suivant : non seulement B agit comme un générateur infinitésimal de la symétrie mais, en tant qu’observable, B est associé à une quantité physique conservée dans le temps. C’est la transcription en physique quantique du théorème de Noether.

On entrevoit ici le caractère particulièrement puissant du formalisme de l’algèbre de Lie en mécanique quantique. Il permet de d’associer aux opérateurs de symétrie une observable correspondant à une grandeur physique conservée au cours des évolutions du système !

Nota : Paul Erhenfest est un physicien autrichien, ami de Bohr et d’Einstein, qui contribua au développement de la mécanique quantique.

Pour en savoir plus :

posts sur la mécanique quantique 

post sur le formalisme quantique

post sur les espaces vectoriels et les groupes de Lie

post sur les algèbres de Lie

formalisme quantique

groupes et algèbre de Lie