#polinomi

Ecco come cucinare in pochi istanti un'estensione del campo dei razionali che contenga tutte le radici di un dato polinomio a coefficienti interi:

Follow this recipe: Start with a big pot. Take a particular Z-polynomial f(x) of degree d `\geq` 1. Then throw into the pot all of the roots of f(x), along with all rational numbers. Then stir. Stirring means we form all possible sums, differences, products, and quotients of all the numbers in the pot. Then stir again, and keep doing this over and over again, watching the brew grow - double, double, toil and trouble. After stirring many times, we call the result Q(f) - the field generated by the roots of f(x). (A theorem tells us that the contents actually will stop growing after some finite number of stirrings.) (A. Ash, R. Gross, "Fearless Symmetry. Exposing the hidden patterns of numbers", Princeton, 2006)

Se sei un computer e la gente ti chiede di fare le moltiplicazioni, sicuramente te le chiederà con numeri molto molto grossi. Altrimenti è gente che non sa apprezzare ed usare al meglio le proprie risorse. Sta di fatto che, quando ti chiederanno di moltiplicare numeri grossi, ti chiederanno di farlo anche in fretta, por favor. Pretenziosi ed impazienti? Questo è pan per i tuoi denti. Sissignore.

Ecco come puoi fare. Come prima cosa, scrivi i tuoi due numeri in questo modo qua:

`n_1 = ax+b` ed `n_2 =cx+d,`

dove la x sta a rappresentare una certa opportuna potenza di dieci (`x=10^k`).

Poi fai la moltiplicazione:

`n_1 \cdot n_2 = (ax+b)(cx+d)=`

`= ac x^2 + (bc+ad)x + bd.`

In questo modo spezzi la moltiplicazione di partenza in quattro altri prodotti con numeri più piccoli -`ac,bc,ad` e `bd` - (e una somma, ma quella la sai fare in fretta, se sei un computer). Ma guarda un po' se fai questa cosa che accade:

`(ax+b)(cx+d)= ac x^2 + (bc+ad+ac-ac+bd-bd)x + bd=`

`= acx^2 + (ac+bd+(a-b)(d-c))x+bd.`

Che uno dice: ma è la stessa cosa. E invece no. Cioè: sì, ma no. Perché in questo secondo modo per arrivare al prodotto finale ne bastano tre, anziché quattro, di prodotti parziali: `ac,bd` e `(a-b)(d-c).` E se sei un computer, questa piccola differenza può fare la differenza: giacché, questi altri tre prodotti li vai a fare iterando il procedimento di cui sopra, una, due tre... tante volte quante è necessario: i calcoli si infittiscono, il numero di operazioni va via via crescendo.... meglio essere parsimoniosi, e il più possibile.

Ma vediamo un esempio, con numeri piccoli, perché io non sono mica un computer.

`26 \cdot 34 = (2 \cdot 10 +6)(3 \cdot 10 + 4)=`

(tanto per intendersi, sto ponendo `x=10`, `a=2`, `b=6`,  `c=3` e `d=4`).

Procedendo:

`= 2\cdot 3 \cdot 10^2 + (2\cdot 3 + 6\cdot 4 +(2-6)(4-3))\cdot 10 + 6 \cdot 4 =`

`= 6 \cdot 100 + 26 \cdot 10 + 24 = 884.`

Et voilà.

Poi, volendo, c'è l'altra variante:

`(ax+b)(cx+d)= ac x^2 + (bc+ad+ac-ac+bd-bd)x + bd=`

`= acx^2 + ((a+b)(c+d)-ac-bd)x+bd.`

E un esempio, un po' più impegnativo, può essere:

`1234 \cdot 5678 = (12 \cdot 10^2 + 34) \cdot (56 \cdot 10^2 + 78)=`

`(12 \cdot 56) \cdot 10^4 + (12+34)(56+78)-12 \cdot 56 - 34 \cdot 78)\cdot 10^2 + 34 \cdot 78.`

E adesso, però, c'è da calcolarsi i tre prodotti, ma a mente non gliela fo: riapplico, per ognuno dei tre, lo stesso algoritmo. Anzi, no, lo lascio riapplicare ai volenterosi. Ad ogni modo l'idea dovrebbe esser chiara, spero.

Sottotitolo: risposta a Tartaglia (quando che il cubo ecc)

Sotto quer grafico de x alla a l'area ce sta; ma a calcolarla, co' 'sti rettangoli che co' gli spigoli vanno de llà, come se fa'? Facile er trucco: nun ce se deve Fermat.

Facciamo che non sappiamo fare gli integrali. E però ci scappa tanto tanto e forte forte di misurare l'area compresa tra l'asse delle ascisse e la curva di equazione y=f(x)= xk, con x  Є  [0,a]. 

Ci viene in aiuto Fermat, che suggerisce, come prima cosa, di suddividere l'intervallo in sottointervallini, i cui estremi siano la successione di punti { q0 a,q1a, q2a, ..., qja,... }, dove q Є (0,1) è un numero fissato. Ora, su ciascuno di questi intervallini costruiamo i rettangoli aventi per base l'intervallino stesso e per altezza il segmento che congiunge l'estremo destro dell'intervallino, xj = qja , con il punto sulla curva ( xj, f( xj))=( qja , (qja)k).  Otteniamo, sommando l'area dei primi n+1 rettangolini, una cosa fatta così:

Sn = Σj=0,...,n f(xj) (xj – xj+1) =

= Σj=0,...,n (qja)k ( qja – qj+1a) =

= ak+1(1-q) Σj=0,...,n (qk+1)j =

= ak+1(1-q) [1- (qk+1)n+1] / [1- qk+1]

(dove nell'ultimo passaggio si usa il fatto che la somma dei primi n+1 termini di una serie geometrica di ragione r vale: Σj=0,...,n rj = [1-rn+1] / [1-r].)

Sommandone infiniti, di rettangolini, si ottiene un'approssimazione (per eccesso) dell'area cercata, che vale:

limn → +∞ Sn = [ak+1(1-q)] / [1- qk+1].

Per infittire il numero di rettangolini e migliorare l'approssimazione possiamo immaginare di prendere i q sempre più vicini al valore 1 (ad esempio, potremmo far assumere a q, successivamente, i valori 1/ 2, 2/3, 3/4, 4/5, e così via) e, con un secondo passaggio al limite, concludere che:

A = limq → 1- ak+1(1-q) / (1- qk+1) =

= limq → 1- [ak+1 / (1 + q + q2 + … + qk) =

= ak+1 / (k+1),

(dove, come sopra, nell'ultimo passaggio si usa l'identità (1-q) [1 + q + q2 + … + qk ] = 1- qk+1 .)