Los números complejos: aritmética.
Ya estamos bien familiarizados con la categorización de los números en:
Enteros: {…-3,-2-,1,0,1,2,3…}
Racionales: todas las fracciones de números enteros. (Y que incluye también a todos los enteros).
Irracionales: todos los que creen que la tierra es plana. No es cierto, todos los que no se pueden escribir como una fracción de enteros o que en su forma decimal tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
Reales: que es la unión de los últimos dos.
Pero, no hay números irreales? Algo que no sea real? Bueno sí y no. Se llaman números imaginarios y este es un terrible nombre para ellos. Un error típico es declarar que como son imaginarios no existen y yo te diré: cuánto pesa un 5 en la balanza? Cuál es el 10 más grande que has sacado del agua? De qué manera se remueve un tumor de π? Ningún número es real en el sentido que no son objetos concretos. En matemáticas cuando decimos que algo existe sólo quiere decir que ese algo tiene una definición bien establecida o hay un teorema que permite su uso o garantiza su aparición en algún razonamiento o satisface alguna relación (la existencia de la solución a una ecuación diferencial, por ejemplo). No tiene nada que ver con que si ese algo es concreto o no. La clasificación de números reales es sólo una categoría, pudieron haberse llamado números de Elena o números egipcios y esto no habría querido decir que hay que pedirle permiso a Elena antes de usarlos o que fueron fabricados en Egipto o que nacieron en Egipto. Digo, ya que pueden ser racionales o irracionales deben tener consciencia en algún grado a lo mejor y son seres vivos. 🙄
Pedanterías al lado, que parezco un profesor cascarrabias xD los números imaginarios son múltiplos reales de la unidad imaginaria. O sea, un x por un “1”. Un x que puede ser cualquier número real, y un “1” definido de la siguiente manera:
O sea, la raíz cuadrada de negativo 1. Son números imaginarios 3i, πi, etc. Un número complejo es aquel que tiene una parte real y una parte imaginaria. Como 5+3i, decimos que 5 es la parte real y 3 es la parte imaginaria y se denotan por Re(z) y Im(z) respectivamente, donde z es un número complejo.
Todo número complejo tiene la forma: a+bi. Los números reales se pueden considerar complejos con Im(z)=0. O sea, complejos con parte imaginaria cero o nula.
Ahora, veamos operaciones con números complejos.
Los números complejos se suman parte a parte. Si t y s son dos números complejos entonces t+s=[Re(t) + Re(s)]+[Im(t) + Im(s)].
Ejemplo: sumar 5+3i y 1+9i
(5+3i) + (1+9i)= (5+1) + (3+9)i= 6+12i.
Para la resta es lo mismo. Se resta parte a parte y el resultado es otro complejo. Los números complejos son cerrados en la suma.
La multiplicación de complejos se puede generalizar usando los principios del álgebra que ya conocemos. Sean m=a+bi y n=c+di dos números complejos, entonces su producto
m×n= (a+bi)(c+di)=ac+adi+cbi+bdi²=(ac+bdi²)+(ad+cb)i=(ac-bd) + (ad+cb)i
Resulta pues que el producto de dos complejos es un complejo con parte real dada por la diferencia de los productos de las partes correspondiente: real por real e imaginaria por imaginaria; y parte imaginaria dada por la suma de los productos de las partes cruzadas: real por imaginaria y real por imaginaria. Voy a usar eso en el siguiente ejemplo.
(5+3i) × (1+9i)= (5-27)+(45+3)i=-22+48i.
Toma nota que aunque he estado usando partes imaginarias positivas, no necesariamente tienen que ser positivas. También pueden ser negativas. Y los resultados anteriores aún son válidos y puedes usarlos sólo teniendo en cuenta el signo de esa parte y teniendo mucho cuidado de aplicar correctamente las leyes de los signos.
La división de complejos requiere definir el conjugado del complejo. Esto no es nada difícil el conjugado del complejo es sólo el mismo número pero con parte imaginaria multiplicada por -1. Ya está.
z es un complejo de la forma a+bi. Su conjugado z* es el complejo a-bi.
Para dividir dos complejos hay que expresar la división como una fracción y multiplicar esa fracción por el conjugado del denominador dividido por si mismo.
CÓMO? PERO ESO ES MULTIPLICAR POR UNO!
Sean m=a+bi y n=c+di dos números complejos, entonces su cociente está dado por:
Este producto de fracciones lo resolvemos igual que hacíamos con los reales: numerador por numerador y denominador por denominador.
(m/n) × (n*/n*)=(m×n*)/(n×n*)
El número de arriba va a ser otro complejo, pero el de abajo no. Multiplicar a un complejo por su conjugado da lugar a un número real. Sí, la parte imaginaria del complejo resultante es cero:
(c+di)(c-di)=c²-cdi+cdi-d²i²=(c²-d²i²) + (-cd+cd)i
Ese segundo término es obviamente cero, y el primer término se reduce a c²+d². Multiplicar a un complejo por su conjugado nos da la suma de los cuadrados de sus partes. Y es un número real.
Así que al dividir un complejo en realidad tenemos:
(1/c²+d²) × (m×n*) el primer factor es un real y el segundo factor es un complejo. No lo había mencionado antes pero multiplicar a un complejo por un real puro, es lo mismo que multiplicar cada parte del complejo por ese real puro. Así puedo escribir k(m×n*) donde k es igual a 1/(c²+d²). Y el complejo resultando lo obtengo multiplicando ese k por cada parte del complejo que obtenga de multiplicar m y n*.
Ya no parecen tan complejos o sí? Xd
Representación gráfica de un número complejo.
Otras formas de escribir un número complejo.
Funciones complejas y mapeo de funciones complejas.
romaincrisis
jacobvanloon
theartofmadeline
yousharknotpass
