#espace vectoriel

Une algèbre de Lie de dimension n est un espace vectoriel L de dimension n muni d’une application bilinéaire [ . , . ] : 

qui a les propriétés suivantes :

Cette application est appelée crochet de Lie.

Soient ea les éléments d’une base de L. Le crochet de Lie appliqué à ces éléments se décompose dans cette base de la manière suivante :

Les coefficients fcab sont appelés constantes de structure de l’algèbre de Lie L. Ces constantes de structure définissent complètement l’algèbre de Lie considérée.

Algèbre de Lie d’un groupe de Lie

Soit un groupe de Lie G tel que ceux définis dans le post sur les groupes de Lie. On définit la notion de chemin sur ce groupe de la manière suivante. Un chemin est une application différentiable du segment [-1 1] sur ce groupe : 

la valeur t = 0 correspondant à la matrice identité Id (l’élément neutre du groupe).

C étant différentiable on peut définir la dérivée de g(t) à l’origine :

On démontre que l’ensemble de toutes les matrices m obtenues par dérivation sur tous les chemins passant par l’application Id est une algèbre de Lie. C’est l’algèbre de Lie du groupe de Lie G. Elle est notée Lie(G).

Espace tangent au groupe de Lie

Revenons à la définition des matrices m ci-dessus. Lorsque t est petit, on peut la réécrire de la manière suivante : 

Cette équation explique pourquoi on donne aussi à Lie(G) le nom d’espace tangent à l’élément neutre du groupe G.

Représentation exponentielle et générateurs de G

Parmi tous les chemins associés à un même élément m de Lie(G), il en est un (et un seul) qui a la propriété suivante :

Sur ce chemin, l’équation suivante est vérifiée :

Ce qui permet d’écrire :

Les éléments de toute base de Lie(G) sont appelés générateurs du groupe G. Il est en effet facile de générer à partir de ces éléments l’action d’un élément de G appartenant au voisinage de l’élément neutre.

Algèbre de Lie du groupe SO(3)

Les matrices R du groupe SO(3) peuvent s’écrire de la manière suivante :

Les matrices réelles antisymétriques GU sont les générateurs des matrices RU.  

L’ensemble so(3) des matrices réelles antisymétriques GU est l’algèbre de Lie du groupe de Lie SO(3) :

Comme on peut le voir, il y a bijection entre les vecteurs U et les matrices GU. L’ensemble so(3) est isomorphe à R3.

On remarquera par ailleurs que la matrice GU est aussi celle qui est associée au produit vectoriel dans R3 :

Il en découle les relations suivantes sur les générateurs associés aux rotations autour des 3 axes principaux :

Cette relation est celle qui définit les constantes de structure de so(3).

Remarque : En physique quantique, on utilise plutôt la notation :

Les matrices Lx, Ly, Lz associées aux rotations autour des axes Ox, Oy et Oz vérifient les relations :

Algèbre de Lie du groupe SU(2)

Tout élément de SU(2) peut s’écrire :

avec :

Les matrices antihermitiennes de trace nulle G_tilde sont donc les générateurs des matrices M du groupe de Lie SU(2). L’ensemble des matrices antihermitiennes de trace nulle G_tilde est l’algèbre de Lie du groupe SU(2) : 

Les matrices de Pauli sigmax, sigmay, sigmaz forment une base de su(2) :

A toute matrice G_tilde on peut donc faire correspondre un vecteur U de R3. L'algèbre de Lie su(2) est donc isomorphe à R3.

Remarque : les matrices de Pauli respectent les mêmes relations de commutation que les matrices Gx, Gy et Gz définie au paragraphe précèdent. Les algèbres su(2) et so(3) ont les mêmes constantes de structure : on dit qu’elles présentent un isomorphisme d’algèbre.  

Intéressons nous maintenant la matrice générée à  partir de G_tilde(U). On peut écrire cette matrice M(U) sous la forme : 

avec :

Rappelons que toute matrice de SU(2) peut aussi s’écrire sous la forme :

Il vient pour les composantes de M(U) :

Toute matrice du groupe SU(2) peut s’écrire à partir d’un vecteur unitaire u et d’un angle theta. C’est un résultat qui ne nous étonnera pas : nous l’avions déjà signalé au chapitre sur les groupes de Lie.

On notera une particularité des matrices de SU(2). L’angle theta utilisé pour exprimer les matrices M(u, theta) peut prendre ses valeurs entre 0 et 4pi. Il en découle les relatons suivantes : 

Une rotation de 360 degrés transforme M(u, theta) en son inverse. Il faut effectuer une rotation de 720 degrés pour revenir à la matrice initiale.

Algèbre de Lie et mécanique quantique

Les groupes et algèbres de Lie sont au cœur du formalisme utilisé en mécanique quantique. En physique, les relations d’invariance sont souvent associées à des symétries (théorème de Noether). Mathématiquement, les symétries présentent souvent une structure de groupe. Lorsque celui-ci est continu et dérivable, on a affaire à un groupe de Lie. La recherche des générateurs associés permet alors de définir une observable invariante dans toute symétrie de ce groupe (théorème d’Erhenfest).

Le groupe de Lie SU(2) a de nombreuses applications en physique : il est associé à la symétrie de rotation dans l’espace. Les équations d’un système ne changent pas si l’on opère une simple rotation du référentiel de coordonnées. En physique classique, cette symétrie se traduit par la conservation du moment cinétique. En mécanique quantique, il permet de construire une théorie complète du spin. Mais il faut pour cela définir un nouveau type de champ : le champ spinoriel.

Pour en savoir plus :

posts sur les groupes et algèbres de Lie

post sur les espaces vectoriels et les groupes de Lie

post sur les spineurs

post sur le théorème de Noether

groupes et algèbres de Lie sur Internet

Que ceux qui sont allergiques aux mathématiques passent leur chemin… Pour les autres, nous allons faire quelques rappels sur les groupes et les espaces vectoriels pour pouvoir introduire la notion de groupe de Lie et d’algèbre de Lie , incontournable en physique quantique.

Groupe

Un groupe est un ensemble muni d’une loi interne : 

qui a les propriétés suivantes :

Le groupe est dit commutatif (ou abélien) si :

L’ensemble des entiers relatifs (appelé Z) est un groupe pour l’addition. Il en va de même pour l’ensemble R des nombres réels. L’ensemble des rotations forme aussi un groupe.

Espace vectoriel

Un espace vectoriel est un ensemble muni :

d’une loi de composition interne notée « + » appelée somme vectorielle et pour laquelle il est un groupe commutatif,

d’une loi de composition externe « o », associative et distributive, appelée produit par un scalaire.

K étant un ensemble ayant les propriétés d’un corps. Cette loi vérifie également les propriétés suivantes :

Dans ce qui précède, -u représente l’inverse de u par l’opération somme vectorielle.

L’ensemble R3 est un espace vectoriel sur le corps des réels R. L’ensemble des fonctions continues sur R3  à valeur réelle ou complexe est également un espace vectoriel sur R.

Représentation linéaire d’un groupe

On parle de représentation linéaire d’un groupe lorsque celui-ci agit sur un espace vectoriel et que cette action respecte la structure de l’espace vectoriel.

Soit E un espace vectoriel sur un corps (R ou C par exemple). Soit X_E l’ensemble des applications linéaires inversibles de E dans E. Une représentation linéaire de dans X_E associe à tout élément g de G une application linéaire T(g) de X_E.

Si E est un espace vectoriel de dimension n sur R alors X_E peut être identifié au groupe GL(n,R) des matrices inversibles n x n. Dans ce cas une représentation linéaire de G est une représentation qui associe à tout élément de G une matrice du groupe GL(n,R).

Même chose si l’on remplace le corps des réels par le corps des complexes C, dans ce cas X_E est le groupe des matrices complexes inversibles GL(n,C).

Groupe de Lie

Lorsqu’un groupe est une variété différentiable, que sa loi interne * est différentiable et que l’application inverse g à g-1 est également différentiable, ce groupe est un groupe de Lie. Le plus souvent, on identifie un groupe de Lie à sa représentation linéaire sur R (ou sur C), c’est-à-dire au groupe de matrices qui le représentent. 

Le groupe SO(2)

C’est le groupe des matrices orthogonales de dimension 2 et de déterminant 1. Le groupe des rotations dans R2 constituent l’une des représentations linéaires de ce groupe :

Le groupe SO(2) est un groupe de Lie. Il est commutatif. L’inverse de la matrice R(theta) est la matrice R(-theta). Il est possible d’écrire R(theta) sous la forme :

Si l’on remarque que G2 = -Id et que G2 = - G, un simple développement limité du second membre de l’équation ci-dessus suffit à le démontrer. On peut exprimer cette équation sous la forme suivante :

En ce sens, on peut dire que la matrice (considérée comme un élément d’un espace vectoriel) est un vecteur tangent au groupe SO(2) au point qui correspond à la matrice identité (c’est-à-dire tel que theta = 0).

Il existe une autre représentation de ce groupe, cette fois dans U(1). L’application définie comme suit :

est un isomorphisme. Un isomorphisme est une application bijective qui préserve la structure d’un ensemble et dont la réciproque préserve également la structure de cet ensemble. Les groupes SO(2) et U(1) sont isomorphes.

Le groupe SO(3)

C’est le groupe des matrices orthogonales de dimension 3 et de déterminant 1. Le groupe des rotations dans R3 est une représentation linéaire de ce groupe.

Une rotation dans R3 est caractérisée par un vecteur unitaire u et un angle theta appartenant à l’intervalle [-pi, pi [. On peut la représenter par un vecteur de R3 :

(Remarque : il ne s’agit pas d’une représentation linéaire.) L’extrémité de ce vecteur appartient à une boule centrée sur l’origine de R3 et de rayon pi. Cette représentation présente une particularité : deux points antipodaux du bord extérieur de cette boule représentent la même rotation alors qu’à toute rotation d’un angle inférieur à pi ne correspond qu’un point et un seul de la boule. Comme on l’a dit, cette représentation n’est pas une représentation linéaire. Elle nous donne par contre une indication sur la topologie de SO(3) : on peut en effet dire que SO(3) est compact.)

Le groupe SO(3) est un groupe de Lie. A la différence du groupe SO(2) il n’est pas commutatif : l’application de la rotation R1 suivie de la rotation R2 ne donne pas le même résultat que l’application de R2 suivi de R1.

Le groupe SU(2)

C’est le groupe des matrices 2x2 unitaires complexes de déterminant égal à 1.

Ceci revient à dire que :

Si on écrit a = x + iy  et b = z + it , il vient : 

C’est l’équation d’une hypersphère de rayon unité. Là encore il ne s’agit pas d’une représentation linéaire : c’est la topologie de l’hypersphère qui nous intéresse. Tout comme celle dans le cas précédent, elle est compacte.

Le groupe SU(2) et les quaternions

Le groupe SU(2) est souvent associé à la notion de quaternion. Cette notion a été introduite par William Rowan Hamilton pour représenter les rotations dans l’espace. Soit q le quaternion défini par : 

Les quaternions sont des nombres hypercomplexes. Au lieu de n’avoir qu’une seule composante imaginaire, ils en ont trois. Ou plutôt leur partie imaginaire est de nature vectorielle. On donne à la composante w de q le nom de composante scalaire de q et au triplet (x,y,z) le nom de composante vectorielle. Un quaternion q est dit unitaire si on peut le représenter sous la forme : 

Considérons maintenant un vecteur quelconque a appartenant à R3. On peut le représenter par un quaternion de composante scalaire nulle et de composante vectorielle égale à a: 

On peut montrer que la rotation de ce vecteur d’un angle theta autour de l’axe porté par le vecteur u s’écrit de manière simple dans l’espace des quaternions :

Il est facile de voir qu’il y a bijection entre l’ensemble des quaternions unitaires et SU(2) :

On écrit souvent la matrice en utilisant le formalisme suivant :

avec :

Ces matrices sont appelées matrices de Pauli.

Relation entre SU(2) et SO(3)

Comme on l’a vu, les groupes SU(2) et SO(3) sont tous deux associés aux rotations dans R3. Pour SO(3) la relation est directe : il y a isomorphisme entre le groupe des rotations dans R3 et SO(3). Dans le cas de SU(2) c’est un peu moins évident… La bijection entre l’ensemble des quaternions unitaires et le groupe SU(2) nous permet cependant d’établir une relation entre SU(2) et SO(3).

Pour cela nous allons introduire un nouveau type d’application T qui fait correspondre à un vecteur a de R3 une matrice de l’espace des matrices hermitiennes complexes MH(2,C) :

Au passage, on notera que la transformation inverse T-1 s’écrit comme suit :

Tr étant l’opérateur trace de la matrice.

Revenons à nos moutons… Considérons l’effet d’une rotation d’un vecteur a. Dans R3 on peut l’écrire de manière directe de la façon suivante :

Nous avons vu qu’il était également possible de représenter une rotation par un quaternion et qu’à tout quaternion on pouvait associer une matrice de SU(2) :

C’est ici qu’intervient l’application T définie plus haut. Nous avons vu qu’elle permettait d’associer à tout vecteur a de R3 une matrice de MH(2,C) :

C’est sur ces matrices de MH(2,C) que nous allons faire agir les matrices Q que nous avons définies en correspondance avec les rotations R(u,theta) :

Récapitulons. Première étape : à toute rotation dans R3 on fait correspondre une matrice dans SU(2) : 

Deuxième étape. A tout vecteur a de R3 on fait correspondre une matrice de l’espace des matrices hermitiennes complexes MH(2,C) :

Troisième étape. A toute rotation R(u,theta) on associe une application sur les matrices de MH(2,C) :

La boucle est bouclée… Nous avons bien défini une application qui fait correspondre à chaque élément du groupe SU(2) une rotation dans R3. C’est donc effectivement une application de SU(2) dans SO(3) :

On donne à ce type d’application le nom de morphisme de groupe. Dans le cas qui nous intéresse, ce morphisme n’est pas bijectif. On peut voir en effet que Q(u,theta) et Q(-u,-theta) ont tous deux la même transformée.

J’en vois qui hochent la tête… Le moins qu’on puisse dire, c’est que c’est plutôt tiré par les cheveux. L’espace R3, on connaît. Les rotations, on voit bien ce que c’est. Mais à quoi peut nous servir une application de l’espace des matrices hermitiennes complexes MH(2,C) dans lui-même ? Vous en connaissez beaucoup, vous, des matrices hermitiennes complexes ? Tout ça a un parfum d’inachevé. Si nous voulons tirer profit des propriétés des groupes de Lie en général et de SU(2) en particulier, il nous faut trouver une représentation plus commode et à laquelle nous pouvons raccrocher des objets physiques.

La théorie des spineurs va nous permettre de faire ce lien. Mais en attendant, nous allons continuer de creuser notre sillon et voir comment on peut générer les éléments d’un groupe de Lie à partir de son algèbre.

Pour en savoir plus :

posts sur les groupes et algèbres de Lie

post sur les notions de base des matrices

post sur les matrices (suite)

groupes et algèbres de Lie sur Internet