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Une algèbre de Lie de dimension n est un espace vectoriel L de dimension n muni d’une application bilinéaire [ . , . ] : 

qui a les propriétés suivantes :

Cette application est appelée crochet de Lie.

Soient ea les éléments d’une base de L. Le crochet de Lie appliqué à ces éléments se décompose dans cette base de la manière suivante :

Les coefficients fcab sont appelés constantes de structure de l’algèbre de Lie L. Ces constantes de structure définissent complètement l’algèbre de Lie considérée.

Algèbre de Lie d’un groupe de Lie

Soit un groupe de Lie G tel que ceux définis dans le post sur les groupes de Lie. On définit la notion de chemin sur ce groupe de la manière suivante. Un chemin est une application différentiable du segment [-1 1] sur ce groupe : 

la valeur t = 0 correspondant à la matrice identité Id (l’élément neutre du groupe).

C étant différentiable on peut définir la dérivée de g(t) à l’origine :

On démontre que l’ensemble de toutes les matrices m obtenues par dérivation sur tous les chemins passant par l’application Id est une algèbre de Lie. C’est l’algèbre de Lie du groupe de Lie G. Elle est notée Lie(G).

Espace tangent au groupe de Lie

Revenons à la définition des matrices m ci-dessus. Lorsque t est petit, on peut la réécrire de la manière suivante : 

Cette équation explique pourquoi on donne aussi à Lie(G) le nom d’espace tangent à l’élément neutre du groupe G.

Représentation exponentielle et générateurs de G

Parmi tous les chemins associés à un même élément m de Lie(G), il en est un (et un seul) qui a la propriété suivante :

Sur ce chemin, l’équation suivante est vérifiée :

Ce qui permet d’écrire :

Les éléments de toute base de Lie(G) sont appelés générateurs du groupe G. Il est en effet facile de générer à partir de ces éléments l’action d’un élément de G appartenant au voisinage de l’élément neutre.

Algèbre de Lie du groupe SO(3)

Les matrices R du groupe SO(3) peuvent s’écrire de la manière suivante :

Les matrices réelles antisymétriques GU sont les générateurs des matrices RU.  

L’ensemble so(3) des matrices réelles antisymétriques GU est l’algèbre de Lie du groupe de Lie SO(3) :

Comme on peut le voir, il y a bijection entre les vecteurs U et les matrices GU. L’ensemble so(3) est isomorphe à R3.

On remarquera par ailleurs que la matrice GU est aussi celle qui est associée au produit vectoriel dans R3 :

Il en découle les relations suivantes sur les générateurs associés aux rotations autour des 3 axes principaux :

Cette relation est celle qui définit les constantes de structure de so(3).

Remarque : En physique quantique, on utilise plutôt la notation :

Les matrices Lx, Ly, Lz associées aux rotations autour des axes Ox, Oy et Oz vérifient les relations :

Algèbre de Lie du groupe SU(2)

Tout élément de SU(2) peut s’écrire :

avec :

Les matrices antihermitiennes de trace nulle G_tilde sont donc les générateurs des matrices M du groupe de Lie SU(2). L’ensemble des matrices antihermitiennes de trace nulle G_tilde est l’algèbre de Lie du groupe SU(2) : 

Les matrices de Pauli sigmax, sigmay, sigmaz forment une base de su(2) :

A toute matrice G_tilde on peut donc faire correspondre un vecteur U de R3. L'algèbre de Lie su(2) est donc isomorphe à R3.

Remarque : les matrices de Pauli respectent les mêmes relations de commutation que les matrices Gx, Gy et Gz définie au paragraphe précèdent. Les algèbres su(2) et so(3) ont les mêmes constantes de structure : on dit qu’elles présentent un isomorphisme d’algèbre.  

Intéressons nous maintenant la matrice générée à  partir de G_tilde(U). On peut écrire cette matrice M(U) sous la forme : 

avec :

Rappelons que toute matrice de SU(2) peut aussi s’écrire sous la forme :

Il vient pour les composantes de M(U) :

Toute matrice du groupe SU(2) peut s’écrire à partir d’un vecteur unitaire u et d’un angle theta. C’est un résultat qui ne nous étonnera pas : nous l’avions déjà signalé au chapitre sur les groupes de Lie.

On notera une particularité des matrices de SU(2). L’angle theta utilisé pour exprimer les matrices M(u, theta) peut prendre ses valeurs entre 0 et 4pi. Il en découle les relatons suivantes : 

Une rotation de 360 degrés transforme M(u, theta) en son inverse. Il faut effectuer une rotation de 720 degrés pour revenir à la matrice initiale.

Algèbre de Lie et mécanique quantique

Les groupes et algèbres de Lie sont au cœur du formalisme utilisé en mécanique quantique. En physique, les relations d’invariance sont souvent associées à des symétries (théorème de Noether). Mathématiquement, les symétries présentent souvent une structure de groupe. Lorsque celui-ci est continu et dérivable, on a affaire à un groupe de Lie. La recherche des générateurs associés permet alors de définir une observable invariante dans toute symétrie de ce groupe (théorème d’Erhenfest).

Le groupe de Lie SU(2) a de nombreuses applications en physique : il est associé à la symétrie de rotation dans l’espace. Les équations d’un système ne changent pas si l’on opère une simple rotation du référentiel de coordonnées. En physique classique, cette symétrie se traduit par la conservation du moment cinétique. En mécanique quantique, il permet de construire une théorie complète du spin. Mais il faut pour cela définir un nouveau type de champ : le champ spinoriel.

Pour en savoir plus :

posts sur les groupes et algèbres de Lie

post sur les espaces vectoriels et les groupes de Lie

post sur les spineurs

post sur le théorème de Noether

groupes et algèbres de Lie sur Internet