ऐ๑ Süleyman Onur — Lisans Günlüğü

f: D(f)  ⊆ IR  → IR   olarak tanımlı bir fonksiyon olmak üzere ꓯ a ∈ D(f) olsun.

Eğer ki lim f(x)  x → a ifadesinin limiti var ve bu limit f(a) değerine eşit ise f fonksiyonuna a noktasında sürekli fonksiyon denir.

ÖRNEK

sin(x)  fonksiyonunun her a değeri için IR üzerinde sürekli olduğunu gösteriniz. Öncelikle verilen ifadenin sürekliliğini göstermeden önce aşağıdaki iki özelliğin varlığını bilmemiz gerekmektedir.

ÖZELLİK 1 sin(α) - sin(β) = 2 ( sin( (α - β) / 2 )( cos( (α + β) / 2 ) ÖZELLİK 2 | sin(α) | / | α |  ≤ 1  ⇒ | sin(α) |  ≤ | α |

SÜREKLİLİĞİN GÖSTERİMİ

ꓯε > 0 için öyle ki  ꓱδ > 0 olacak şekilde bazı δ değerleri vardır öyle ki, | x - a | <  δ  ⇒ | sin(x) - sin(a) | < ε

olduğundan | sin(x) - sin(a) | = |  2 ( sin( (x - a) / 2 )( cos( (x + a) / 2 ) |  ≤  2 | (x - a) / 2 | < ε ⇒   2 | (x - a) / 2 |  < ε  olduğundan  | (x - a) | <  ε  olur öyle ki  δ = ε olacak biçimde bir epsilon değer seçebiliriz.

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) olacak biçimde üç fonksiyon tanımlayalım. lim f(x) = lim h(x) = L x→a         x→a

lim f(x) = L  x —> ∞ olsun. Bu ifade için aşağıdaki gibi bir epsilon - delta tanımı mevcuttur. ꓯε > 0,   ꓱδ ∈ IR  :  x > δ    ⇒   | f(x) - L | <  ε

ÖRNEK lim (3x + 7) / (2x -1) = 3/2  olduğunu ispatlayınız. x —> ∞   İSPAT

ꓯε > 0,   ꓱδ ∈ IR  :  x > δ    ⇒   | f(x) - L | <  ε |  (3x + 7) / (2x -1) - (3/2) | <  ε 

⇒  ....... ⇒  | 2x - 1| > (17 / 2 ε )  Λ   x —> ∞

⇒  2x - 1 > (17 / 2 ε )

lim f(x) = L x —> a lim f(x) = M x—> a 

olsun. İfadeden de anlaşılabileceği gibi aynı fonksiyonların aynı noktalar için iki farklı limit değerinin olduğunu kabul edelim ve bunu

L ≠  M

Eşitliği ile gösterelim. Öyle ki limit tanımını kullanarak şu iki bağıntıyı yazabiliriz. 0 < | x - a | <  δ1 ⇒ | f(x) - L |   <    ε

0 < | x - a | <  δ 2 ⇒ | f(x) - M |   <   ε Yukarıdaki bu iki ifadedenin gerçekliği limit tanımından yola çıkarak yapılmıştır. Şimdi kabulümüze göre L ≠  M  olduğundan öyle ki 

0 < | L - M | 

olduğu apaçıktır. Çünkü L ve M farklı değerlere sahipse farklarının mutlağı mutlaka sıfırdan büyük olmalıdır. Şimdi ispatımızı yapabilmemiz için benzetme ve üçgen eşitsizliği yapmamız gerekecek

| L - M |  ifadesinde mutlağın içine f(x) ekler ve çıkartırsak sonucun değişmeyeceği apaçıktır. 0 < | L - M + f(x) - f(x) | ise üçgen gruplandırma yaparak şöyle bir üçgen eşitsizliği kurabiliriz. 0 < | L - M | =  | L - M + f(x) - f(x) | ≤ | f(x) - L | + | f(x) - M |  <  ε +  ε = 2ε Kurduğumuz bu eşitlikte ε larımızı sıfıra çok ama çok yakın noktalarda seçebiliriz.  Öyle ki seçeceğimiz  ε lar sıfıra çok yakın değerler olduğunda yukarıdaki üçgen eşitsizliği aşağıdaki gibi bir ifadeye benzeyecektir.

0 < | L - M | ≤ 0

| L - M |  ifadesi hem sıfırdan büyük hem de sıfırdan küçük olabiliyorsa sıkıştırma teoremini kullanarak  | L - M |  ifadesi 0 ‘a eşittir deriz. | L - M | = 0 ise L = M dir.  Lakin problemi cevaplandırırken  L ≠  M olduğunu kabul etmiştik. Sonuç: Çelişki

Varsayalım, elimizde x + 2 = 5 gibi bir ifade olsun.

x + 2 + (-2) = 5 + (-2) işlemini yaparsak buna cebir,

İrrasyonel sayılar, rasyonel sayılarla reel sayılar altında belirli bir ilişkiye sahiptir.

İki irrasyonel sayının toplamının rasyonel sayı olması durumu:

İki irrasyonel sayıyı toplarsak bazen rasyonel sayılar elde edebiliriz;

√2 bir irrasyonel sayıdır.  - √2 + 1 ifadesi de bir irrasyonel sayıdır.

Şimdi gelin bu iki sayıyı toplayalım.

(√2 + ( - √2 +1)) = 1 sonucunu elde etmiş oluruz. Bilindiği üzere 1 sayısı rasyonel bir sayıdır.

 İki irrasyonel sayının çarpımının rasyonel sayı olması durumu:

İki irrasyonel sayıyı çarparsak bazen rasyonel sayılar elde edebiliriz;

√2 bir irrasyonel sayıdır.  √8 ifadesi de bir irrasyonel sayıdır.

Şimdi gelin bu iki sayıyı çarpalım.

√2 .  √8 =  √16 = 4 sonucunu elde etmiş oluruz.

Bilindiği üzere 4 sayısı bir rasyonel sayıdır.

Rasyonel sayılar ve irrasyonel sayıların ne olduğu hakkında bilgi almak için özgür ansiklopedi vikipediye göz atabilirsiniz:

      Dün bu saatlerde ilk tercihim olan Hacettepe Üniversitesi Matematik bölümünü kazandığımı öğrendim. Blogumu artık daha aktif kullanma vaktinin geldiğini düşünüyorum. Tam olarak bir şeyler yazmanın cesaretini kazanabilmiş değilim ancak üstesinden geleceğime inancım tam. 

Herkese Merhaba!

Bu bloğu açmamda lisans eğitimi sürecinde; üniversite hayatında yaşadıklarımı, alacağım derslerle ilgili fikirlerimi ve öğrendiğim yeni konuları burada dile getirme isteğim etkili oldu. Bu sayede hem kendim hem de matematikle ilgili şeyler paylaşarak öğrenmek isteyenlere yardımcı olmak ve burayı bir günlük haline getirmek istiyorum.