#viriel

Inktober days 8, 9, 10 and 11

Inktober + Meatgoretober day 2: Mindless + Down by the river

Nous avons vu dans un post précédent les conditions qui pouvaient conduire un nuage interstellaire à s’effondrer. Nous avons vu également qu’au sein d’un nuage qui s’effondre, la température, la densité et la pression montent en flèche. Si la masse initiale du nuage est trop faible, le gaz reste cependant à l’état atomique et les forces qui maintiennent la cohésion de la matière finissent pat bloquer le processus (voir le post sur le théorème du viriel).

Si la masse est suffisante, le gaz passe à l’état ionisé et la contraction se poursuit. Il arrive un moment où la densité et la température au cœur du nuage proto-stellaire sont telles que les interactions nucléaires à très courte portée prennent le pas sur la force de répulsion coulombienne entre les noyaux. Des réactions nucléaires s’enclenchent. Tout d’abord, aux environs d’un million de degrés, deux noyaux d’hydrogène (deux protons) se combinent pour donner du deutérium avec émission d’un positron et d’un neutrino. Puis la rencontre d’un noyau de deutérium avec un proton donne un noyau d’hélium 3 (un isotope de l’hélium) et un photon gamma. Enfin, lorsqu’on franchit la barre des dix millions de degrés, deux noyaux d’hélium 3 donnent un noyau d’hélium 4 et deux protons. Cette succession de réactions est dite thermonucléaire car elle est fortement exothermique. Le bilan de masse conduit en effet à l’émission d’une énergie équivalente à 0,7% de la masse de l’hydrogène transformé en hélium ! Quand on sait que le Soleil brûle 600 millions de tonnes d’hydrogène par seconde, on conçoit que l’énergie produite est colossale ! 

Cette énergie est évacuée sous la forme de neutrinos et de rayons gamma. Ces particules emmènent avec elles une énergie et une quantité de mouvement énormes. Les rayons gamma ne peuvent pas aller très loin : les couches qui entourent le cœur d’une étoile sont très denses et assez opaques. Les rayons gamma sont absorbés et transfèrent leur énergie et leur quantité de mouvement à ces couches. Celles-ci réémettent à leur tour un rayonnement très énergétique en direction des couches adjacentes… et ainsi de proche en proche jusqu’à ce que le flux d’énergie parvienne à la photosphère. (On estime à plusieurs centaines de milliers d’années le temps mis par ce flux pour traverser toutes les couches du Soleil !).

En traversant les couches successives de l’étoile, le flux d’énergie produit par le cœur en fusion engendre une pression énorme qui bloque le processus d’effondrement. Une étoile est née. Elle va rayonner pendant des centaines de millions, voire des milliards d’année. Jusqu’à ce que les conditions de la réaction en chaîne qui se déroule dans son cœur ne soient plus réunies…

Nous allons étudier plus en détail les phénomènes physiques en jeu au sein d’une étoile : ce que les physiciens appellent son équation d’état.

Equation d’état au sein d’une étoile

Du point de vue de la physique, une étoile est un corps autogravitant (dont la cohésion est maintenue par sa propre gravité) de symétrie sphérique en équilibre. Le comportement de la matière stellaire peut être décrit par une série d’équations :

La première est l’équation de masse de l’étoile. Elle exprime la masse en fonction de la densité en chaque point de l'étoile.

La seconde est une équation d’équilibre hydrostatique au sein de l'étoile. En première approximation, celle-ci peut être considérée comme une boule de gaz en équilibre gravitationnel. L’équilibre n'est possible que si la force d'attraction gravitationnelle est compensée en tout point par la pression.

La troisième est assez simple, elle décrit le taux de production d’énergie au cœur de l’étoile.

La dernière est la plus difficile à appréhender, c'est l'équation qui décrit la façon dont le flux d’énergie produit par la fusion au cœur de l'étoile traverse les couches stellaires. On l’appelle équation de transport de l'énergie. L'équation de transport relie le gradient de température au sein de l'étoile à un paramètre qui caractérise l'opacité de la matière.

Nous allons détailler ces équations une par une.

Equation de masse

Commençons par la plus simple, l’équation de masse de l’étoile :

Equilibre hydrostatique

La pression au sein du gaz s’écrit :

(Au cœur d’une étoile de masse supérieure à 2,5 fois la masse du Soleil il conviendrait de prendre en compte également la pression de radiation.) L’équation d’équilibre hydrostatique entre la force d’attraction gravitationnelle et la pression est donnée par l’équation suivante :

Taux de production de l’énergie

Intéressons-nous maintenant à la puissance LR rayonnée par la sphère de rayon r. On utilise le terme de luminosité à son sujet. Cette puissance s’exprime en fonction du taux de production d’énergie par unité de masse :

Seul le cœur de l’étoile est actif. En première approximation, on écrira que le paramètre epsilon a une valeur constante pour r < RC et qu’il est nul au-delà, RC étant le rayon du cœur de l’étoile (là où se déroule la fusion).

Equation de transport de l’énergie

Pour déterminer complètement l’équation d’état au sein de l’étoile il nous faut analyser le flux d’énergie qui la traverse. Cette analyse va dépendre essentiellement d’une caractéristique physique du gaz appelée opacité. L’opacité d’un gaz caractérise sa propension à absorber une fraction du rayonnement incident. Dans un premier temps, nous allons supposer que l’énergie qui transite depuis le cœur jusqu’à la surface extérieure de l’étoile se fait sans déplacement de matière (c’est-à-dire sans mouvement de convection).

L’hypothèse qui va sous-tendre notre analyse est la suivante : chaque sphère de rayon r de l’étoile peut être considérée comme un corps noir par la couche comprise entre sa surface extérieure et la sphère de rayon r+dr. Le flux émis par cette sphère suit donc la loi de Stefan :

La relation entre flux et luminosité s’écrit :

Que se passe-t-il dans la couche comprise entre la sphère de rayon r et la sphère de rayon r+dr ? Soit I(lambda, r) l’intensité du flux radiatif entrant dans cette couche. Une partie de ce flux est absorbée par le gaz contenu dans la couche :

Klambda étant le coefficient d’opacité du gaz à la fréquence lambda. Ce coefficient dépend de la longueur d’onde : les raisons pour lesquelles le rayonnement peut être absorbé sont en effet variées (diffusion de Compton, excitation des électrons…). Il dépend aussi de la densité du gaz et de sa température. Dans un premier temps, l’énergie absorbée par la couche d’épaisseur dr accroît l’énergie interne de cette couche ainsi que sa température. L’évolution de la pression conduit alors à un ajustement du volume de cette couche. Le bilan de cet échange est décrit par l’équation qui suit :

L’accroissement d’énergie interne est égal à l’énergie absorbée moins le travail de la pression. (Pour simplifier la démonstration, nous avons supposé r > Rc. Si ce n’était pas le cas, il faudrait ajouter à ce bilan le terme epsilon.) Si on divise les deux termes de cette équation par la masse de gaz de cette couche il vient :

La pression P_r s’ajuste jusqu’à atteindre le point d’équilibre hydrostatique. Au point d’équilibre la totalité de l’énergie absorbée par la couche (plus, le cas échéant, l’énergie de fusion produite au sein de ladite couche) est rerayonnée en direction des couches extérieures sous la forme d’un rayonnement de type corps noir :

La détermination du point d’équilibre fait appel à la théorie du transport radiatif d’énergie. Elle nécessite des développements assez fastidieux et je propose que nous allions tout de suite au résultat. L’équation de transport radiatif peut s’écrire sous la forme suivante :

Le coefficient K* est le coefficient d’opacité moyenne au sein de la couche toutes fréquences confondues. On donne à ce terme le nom de moyenne de Rosseland. Il dépend de la densité et de la température. Une bonne approximation de ce coefficient est donnée par l’équation qui suit :

Equilibre radiatif au sein de la couche

Le moins qu’on puisse dire, c’est que tout ça n’est pas particulièrement intuitif. Pour tenter de comprendre les phénomènes physiques en jeu, nous allons illustrer ce qui se passe au sein d’une couche comprise entre la sphère de rayon r et la sphère de rayon r+dr. Pour simplifier l’exposé, nous supposerons que r > RC (pas d’énergie de fusion produite dans la couche). Soient T la température du rayonnement émis par la sphère de rayon r et L sa luminosité. Nous allons voir comment l’opacité de cette couche intervient dans l’équilibre entre celle-ci et les couches supérieures.

Supposons que l’opacité au sein de la couche soit trop forte. Dans ce cas, le flux radiatif « ne peut pas passer » dans son intégralité. Dès lors, une partie de l’énergie absorbée par la couche augmente son énergie interne. (Nous laissons de côté pour le moment la possibilité d’un transport par convexion.) Cette augmentation va se traduire par une hausse de la température et de la pression au sein de la couche. Celle-ci va repousser les couches supérieures et sa densité va décroître, ce qui se traduira au final par une diminution de l’opacité. A l’inverse, si l’opacité est insuffisante, le flux radiatif ne peut pas entretenir l’énergie interne qui s’évacue vers les couches supérieures sous la forme d’un rayonnement de Planck. La température et la pression de la couche diminuent et elle se contracte sous le poids des couches supérieures. La densité augmente et l’opacité fait de même.

Remarque : en fait, cette couche ne peut pas être isolée de la sphère qui l’alimente. Lorsqu’un embouteillage se forme, il « remonte le flux ». Autrement dit, la sphère interne va également être affectée. Cela va se traduire sur la pente dT/dr entre RC et r qui va s’ajuster. L’effet au final est le même.

Les limites du raisonnement…

Le raisonnement qui précède est très simplifié. En particulier, nous avons supposé qu’il y avait nécessairement un point d’équilibre. Or ce n’est pas toujours le cas, et ceci pour deux raisons :

La luminosité peut être telle que les forces de pression excèdent la gravité. Nous reviendrons sur ce cas de figure un peu plus loin.

L’opacité ne diminue pas suffisamment pour permettre au rayonnement de s’écouler du cœur vers la surface. Le transport radiatif laisse alors la place au transport convectif.

Revenons sur notre description des processus en jeu au sein d’une couche de l’étoile. Nous avons supposé que lorsque l’opacité était trop importante la pression de la couche augmentait et que cela se traduisait par une diminution de l’opacité. C’est en effet un cas de figure possible… mais cela pourrait tout aussi bien se passer autrement. La relation entre température, densité, pression et opacité est très complexe. Une augmentation de l’énergie interne ne se traduit pas nécessairement par un gonflement de la couche et une baisse de l’opacité. En fait, tout dépend du coefficient de chaleur spécifique de la couche, ou plus exactement du rapport entre coefficient de chaleur spécifique à pression constante et coefficient de chaleur spécifique à volume constant :

Pour qu’il y ait transport radiatif il faut que la condition suivante, appelée critère de Schwarzschild, soit satisfaite :

Dans le cas contraire, la logique exposée précédemment n’est plus valable. Il n’y a pas de point d’équilibre pour lequel le transport radiatif peut se produire. Dès lors, la couche accumule de l’énergie interne et devient instable. Des points chauds se forment, qui entrainent une dilatation locale et la création de bulles qui remontent vers la surface (poussée d’Archimède). Un régime de convection turbulent s’établit. On parle alors de transport convectif. C’est le déplacement de matière qui évacue l’énergie depuis l’intérieur vers l’extérieur de l’étoile.

Radiatif vs. convectif : le match

Ces deux mécanismes peuvent coexister au sein d’une même étoile, mais une étoile peut aussi être entièrement convective. C’est le cas des étoiles de faible masse (masse inférieure à 0,3 masses solaires). Leur luminosité est insuffisante pour que l’énergie interne des couches qui entourent le cœur les rende suffisamment transparentes. Ce régime de convection entraîne un brassage continuel de la matière qui est ainsi constamment renouvelée dans le cœur de l’étoile.

Dans une étoile comme le Soleil, une zone de transport radiatif peut se développer. Seules les couches périphériques (r > 0,75 R pour le Soleil) sont convectives. Cette fois, le cœur est, d’une certaine manière, « isolé » : comme il n’y a pas de déplacement de matière dans la zone radiative, le carburant hydrogène du cœur n’est pas renouvelé. Nous verrons dans un post ultérieur ce qui se passe lorsqu’il s’épuise.

Dans le cas d’étoiles massives, les couches proches du cœur sont convectives du fait de leur très forte densité. Pour ce type d’étoiles le transport peut redevenir radiatif dans les couches périphériques.

Dans tous les cas, l’existence d’une zone convective joue un rôle déterminant dans l’existence d’un champ magnétique. La circulation de matière due à la convection favorise en effet la création de courants entretenus par l’effet dynamo.

Rayonnement limite d’Eddington

Dans l’équation qui donne la valeur de la pression au sein d’une couche, nous avons volontairement omis le terme de pression radiative. Nous l’avons omis parce que, dans la plupart des cas, il est négligeable par rapport au terme de pression cinétique. Si l’on tient compte de ce terme, l’équation s’écrit :

Revenons à l’équation de transport radiatif. Dans cette équation, rien ne nous empêche de remplacer le terme 4T3dT par dPrad :

Il suffit alors de diviser le résultat par la valeur de dP/dr donnée par l’équation d’équilibre hydrostatique. Il vient :

P et Prad évoluent dans le même sens (Prad et Pcin décroissent tous deux si r croît). Le rapport dPrad/dP est donc nécessairement inférieur à 1. On en déduit qu’il existe une valeur limite de la luminosité, appelée luminosité d’Eddington, au-delà de laquelle il ne peut pas y avoir d’équilibre radiatif :

En pratique, on utilise la formule numérique suivante (luminosité exprimée en W) :

MS étant la masse du Soleil. Au-delà de la limite d’Eddington, la pression de radiation expulse les couches extérieures de l’étoile.

Modélisation

A condition de ne pas avoir des ambitions démesurées (et en particulier en se limitant à la zone radiative), il est possible de modéliser le jeu d’équations présenté ci-dessus avec un simple tableur. En rentrant des valeurs numériques correspondant à la taille, à la masse et à la luminosité du Soleil, on parvient à des courbes qui ne sont pas très éloignées des résultats obtenus grâce à des simulations beaucoup plus élaborées. (De telles simulations modélisent également l’intérieur du cœur et la zone convective et utilisent une formule moins approximative pour la moyenne de Rosseland.) Elles montrent qu’il y a une décroissance rapide de la densité et de la pression à mesure que l’on s’écarte du noyau. Dès lors que la densité descend en dessous de 0,1 g/cm3 et la pression en dessous de 107 bars, les conditions ne sont plus réunies pour qu’il y ait transport radiatif de l’énergie.

Dans des posts ultérieurs, nous brosserons un scenario de l’avenir su Soleil avant de nous intéresser aux cycles de vie d’une étoile. Nous consacrerons enfin un post entier aux naines blanches et aux étoiles à neutrons. 

Pour en savoir plus :

post sur la théorie cinétique des gaz

post sur le théorème du viriel

post d’introduction à l’astronomie

post sur le cycle de vie d’une étoile

post sur le rayonnement des corps noirs

i did all three n_n

Laurent most certainly doesn’t agree, not with the dyed purple wool, the letter ‘L’ on the front or the fact that his father is wearing a similar blue one. He looks away and spots Miriel nearby.

“Mother!” Laurent power walks over to her. “Reason with Father! He insists I wear a ridiculous sweater!”

Miriel draws her robes apart, revealing her red sweater underneath.

Laurent doesn’t fall far, from the lowest tree branch to the ground, but it’s enough to make him burst into tears.

Miriel rushes over and picks him up. “Virion, get Lissa,” she says.

“Fret not, my love,” Virion replies. “I already have a remedy prepared. Please, pass him to me.”

She does so. Virion secures his arm around Laurent and kisses their son’s grazed elbow. Laurent’s wails quieten into grumbling with the occasional hiccup.

“A parent’s kiss,” notes Miriel. “A textbook example of a placebo.”

“Please, Miriel,” says Virion.

Miriel coughs. “R-Right.”

i’m going to put the tofu one in another post. <3

~1-25 Kiss Ficlets~

Virion adjusts the position of his hand, slipping it around and down onto Miriel’s left shoulder blade. “Visualise a feather swaying slowly as it descends,” he says, and Miriel misses the smile that spreads across his lips, that spreads as fluidly as his footwork.

Miriel studies her right hand, how it is joined with his left hand at a height level with her eyes. His fingers fit between hers, curled firmly.

“The mantra that you taught me,” she says, “it goes... ‘slow, quick, quick?’ Correct?”

“Yes, that is what it is, but you are not allowing it take root in your heart, my sweet Miriel, you are only recalling the phrase. You must prolong the word ‘slow’ and when it comes to the word ‘quick’, you trot. Slow... Quick! Quick! Do you follow?”

“I believe so.” Miriel secures her hold on his right shoulder blade. “Let us proceed.”