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The accent circonflexe (^) exists in French words to replace the “s” that no longer exists but used to be there in older French.

For example: fenêtre used to be fenestre

être  → estre (es, est, sommes, ê[s]tes, sont ; ser-)

some French derivations become clearer :

fenêtre   → défenestrer → L. fenestra

fête   → festival

hôpital → hospitaliser (E. hospital, ise)

intérêt  → intéressant (E. interest, -ing)

ancêtre  → ancestral (E. ancestor, -ral)

arrêt    → arrestation

épître  → épistolaire (E. epistle)

some English cognates become more obvious :

hôtel  → hostel (E. ‘hotel’ borrowed from French)

forêt  → forest (tipp to remember ^ goes on the ‹e›)

bête  → beast

côte  → coast

honnête → honest

pâte, pâté → pasta, paste

quête   → quest

enquête  → inquest

tempête  → tempest

vêtements → vestments (ie. clothes)

baptême → baptism

sometimes, the acute replaces the circumfex for phonetic reasons :

ḗcole   → escole → L. schola (E. school)

ḗtranger   → estrangier (E. stranger)

ḗtudier   → estudier (E. study)

dḗgoûtant → desgoustant (E. disgusting)

dḗbarquer → desembarquer (E. disembark)

rḗpondre  → respondre (E. respond)

rḗpublique → L. res publica

Also, where « c → ch » (eg. cantare→ chanter) :

château → castel (E. castle)

pêcher → L. piscare

and « w → gu » (eg. war→ guerre ; warden→ guardian) :

guêpe → E. wasp ! (this is my n° 1 favourite cognate)

bonus etymologies :

tête   → L. testa

fantôme  → L. phantasma (E. ‘phantom’ borrowed from French)

Pâques  → Gk. pásxa → Am. pésaḫ (E. Paschal)