Conjuntos y subconjuntos
Intuitivamente, un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, objetos que pueden ser cualesquiera: números, personas, letras, ríos, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto (Lipschutz,1977) y se dice de ellos que pertenecen al conjunto.
Son ejemplos de conjuntos:
1. Los números 1,3,5,7,9.
2. Las soluciones de la ecuación x^2-3x-2=0.
3. Las vocales del alfabeto: a, e, i, o, u.
4. Las personas que habitan la Tierra.
5. Los estudiantes Tomás, Ricardo y Enrique.
6. Los estudiantes ausentes de la escuela.
Notemos que los conjuntos impares vienen definidos enumerando sus elementos; pero los conjuntos pares se definen enunciando la propiedad que los elementos tienen en común (Lipschutz.1977). Se dice que los conjuntos como los impares están definidos por extensión y que los pares están definidos por comprensión.
Notación
Es usual denotar los conjuntos por letras mayúsculas y sus elementos por letras minúsculas (Lipschutz.2009). La pertenencia se denota con el símbolo epsilón que se lee “pertenece a”. Por ejemplo:
La negación de la pertenencia se consigue con una pleca sobrepuesta al símbolo de pertenencia, como tachándolo. Y se lee “no pertenece a”.
Especificación de conjuntos.
Hay dos formas para especificar un conjunto, como se señaló antes. Una forma, de ser posible, consiste en enumerar sus elementos separados por comas y escritos entre llaves { }. La segunda es escribir las propiedades que caracterizan a los elementos del conjunto {Lipschutz.2009}. Naturalmente, para hacer lo primero es requisito que los elementos del conjunto sean pocos. Por ejemplo:
Es decir 1,3,5,7 y 9 pertenecen a A, o A es el conjunto de todos los impares menores que 10. La segunda proposición también se puede leer el conjunto de todos los x, tal que x es un impar menor que 10. donde la barra se lee tal que.
Es importante señalar que un conjunto no depende de la forma en que se muestren sus elementos, un conjunto es el mismo aún si sus elementos se repiten o están en desorden \cite{Lipschutz.2009}.
Conjuntos finitos e infinitos.
Si los elementos del conjunto pueden contarse hasta una cantidad finita se llaman finitos, si por otra parte, resulta en que el proceso de contar continúa sin fin entonces el conjunto es infinito {Lipschutz.1977}. Por ejemplo:
1. Si M es el conjunto de los días de la semana, entonces M es finito.
2. Si N es el conjunto de todos los números pares, entonces N es infinito.
Conjuntos universo y vacío.
Todos los conjuntos que se estudian en cualquier aplicación de la teoría de conjuntos pertenecen a un gran conjunto fijo denominado universo que se denota por U {Lipschutz.2009}. Irónicamente, el conjunto universo no es universal y se define dentro de la aplicación puntual de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, si se tratara a los vehículos de una concesionaria como un conjunto tal colección sería un conjunto univers; no obstante, el conjunto de los autos rojos podría constituir un Universo por sí mismo, todo depende del interés del observador en una colección u otra.
Un conjunto que no tiene elementos se denomina conjunto vacío o conjunto nulo y se denota por una circunferencia cruzada por una pleca {Lipschutz.2009}. Es un error común declarar que el conjunto nulo contiene al cero. Pero esto no es verdad, ya que el cero es una entidad matemática en sí y por cuanto existen propiedades atribuibles al cero no se puede decir que el conjunto que lo contenga sea vacío. Un ejemplo aclarará esta situación:
Es evidente que la propiedad dada a x como una ecuación sólo se satisface en los reales, dando como resultado un conjunto vacío.
Un aspecto importante es que aunque el conjunto universo puede depender de la aplicación, el conjunto vacío es único. Si dos conjuntos son vacíos, entonces tienen exactamente los mismos elementos: ninguno. Por tanto son uno y el mismo conjunto.
Subconjuntos.
Suponga que todo elemento de un conjunto A también es elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B, o que A está contenido en B, o que B contiene a A y se escribe:
A\subseteq B o B \supseteq A
Dos conjuntos son idénticos si tienen los mismos elementos, o lo que es equivalente, si se contienen mutuamente {Lipschutz.2009} y se denota mediante
A=B
Dos conjuntos A y B se dicen comparables si A \subset B o B \subset A, esto es, si uno de los conjuntos es subconjunto del otro. En cambio, dos conjuntos A y B se dicen no comparables si no son subconjunto uno del otro.
Dos conjuntos se llaman ajenos o disjuntos si no tienen elementos en común {Lipschutz.2009}. Por ejemplo:
A={1,2} B={4,5,6}
Son ajenos porque no tienen elementos en común, pero B con C={5,6,7,8} no son disjuntos pues tienen en común a los números 5 y 6.
Conjuntos de conjuntos.
A veces aparecen conjuntos que son a su vez elementos de otro conjunto. Para no decir que son conjuntos de conjuntos nos referimos a ellos como familias de conjuntos o clases de conjuntos y se denotan por letras cursivas. Por ejemplo en geometría o cálculo se habla de familias de curvas, pues cada curva es ya una colección de puntos {Lipschutz.1977}
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto S se llama conjunto potencia de S. Se le designa por 2^S. Si un conjunto S es finito, digamos que S tenga n elementos, entonces el conjunto potencia de S tendrá 2^n elementos. Esta es una razón para llamar conjunto de potencia de S a la clase de subconjuntos de S y para denotarla por 2^S{Lipschutz.1977}.
