Empliez @infktocap - Tumblr Blog

Sev

Consideramos un subconjunto de \$\mathbb{R}^2\$ como lienzo rectangular de dimensiones \$360\$ ancho, \$640\$ alto. Este lienzo contiene el origen \$\bigl[\\begin{smallmatrix}0 \\\\ 0\\end{smallmatrix}\bigr]\in\hspace{0.1cm}\mathbb{R}^2 \$ en el centro del lienzo.

Sea \$W=\left\{\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ y \\end{array}\right]: \hspace{0.1cm}y\in\mathbb{R}\right\}\subset\hspace{0.1cm}\mathbb{R}^2\$ la línea vertical que contiene el origen. Sobre \$W\$ consideramos un conjunto finito de \$2k+1\$ puntos sobre los cuales dibujamos rectángulos de ancho: $$\left(\frac{\left|j\right|}{4}\cdot\frac{180}{4}\right)+\varepsilon$$ y alto: $$\frac{320}{k},$$ con \$j=-k,\dots,-1,0,1,\dots,k\$ y \$\varepsilon>0\$ un número que varía de manera aleatoria.

Cuando \$k=\hspace{0.1cm}8\$, el índice \$j\$ toma valores $$j=-8,-7,-6,-5,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8$$ y tenemos los siguientes \$2k+1=17\$ rectángulos:

En este post, la idea es rotar este \$W\$ con sus objetos, para esto considerar las rotaciones $$R_{n}=\left[\\begin{array}{cc} \cos{\left(n\right)} & -\sin{\left(n\right)} \\\\ \sin{\left(n\right)} & \cos{\left(n\right)} \\end{array}\right],$$ con \$n=1,2,3,\dots\$

Al momento que la familia \$R_{n}\$ comienza a rotar a \$W\$, cada \$90\$ unidades de rotación \$W\$ y sus objetos se escalan en \$\frac{9}{16}=\frac{360}{640}\$ y retornan a su escalamiento original. Para \$n = 90\$, el anterior ejemplo de \$W\$ posee la siguiente configuración:

Es importante recalcar que las rotaciones y escalamientos son transformaciones lineales, luego el origen \$\bigl[\\begin{smallmatrix}0 \\\\ 0\\end{smallmatrix}\bigr]\in\hspace{0.1cm}W\$ queda fijo.

La composición final, consiste en considerar \$k\$ en \$8,6,4\$ y para cada \$k\$ la construcción, rotación y escalamiento de rectángulos sobre \$W\$.

#Generalidad #processing #Vimeo

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Push

Consideramos un subconjunto de \$\mathbb{R}^2\$ como lienzo rectangular de dimensiones \$360\$ ancho, \$640\$ alto. Este lienzo contiene el origen \$\bigl[\\begin{smallmatrix}0 \\\\ 0\\end{smallmatrix}\bigr]\in\hspace{0.1cm}\mathbb{R}^2 \$.

Consideramos una elipse \$E\$ centrada en el origen de ancho \$90\$ y alto \$160\$.

Sea \$n=1\$, para este valor, consideramos una familia de traslaciones verticales \$T_{j}\$ definidas como $$T_{j}:\left[\\begin{array}{c} x \\\\ y \\end{array}\right]\longmapsto\left[\\begin{array}{c} x \\\\ y \\end{array}\right]+160\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ \sum_{i=1}^{j}\frac{1}{i}\\end{array}\right],$$con \$j=1,2,\dots,15\$. Con el índice \$j\$ anterior, se toma la sucesión de rotaciones $$R_{jn}=\left[\\begin{array}{cc} \cos{\left(jn\right)} & -\sin{\left(jn\right)} \\\\ \sin{\left(jn\right)} & \cos{\left(jn\right)} \\end{array}\right].$$ Entonces, al aplicar dicha sucesión de rotaciones a \$E\$, obtenemos la familia \$T_{j-1}\circ R_{jn}(E)\$ que se visualiza de la siguiente forma:

Del anterior gráfico, se asume que \$T_{0}\$ es la aplicación identidad. De manera inductiva, si \$n=15\$, la sucesión de elipses es la siguiente

En conclusión, dado \$n\in\hspace{0.1cm}\mathbb{N}\$ fijo, su correspondiente sucesión \$T_{j}\$ permite trasladar \$E\$ hacia abajo. La composición final se da al momento que \$n\$ toma valores en \$1,2,3,\dots,\$.

#Generalidad #black and white #processing

Sen

Consideramos un subconjunto de \$\mathbb{R}^2\$ como lienzo rectangular de dimensiones \$360\$ ancho, \$640\$ alto. Este lienzo contiene el origen en su centro.

Sea: $$\left\{P_{1n},P_{2n},P_{3n},P_{4n}\right\}$$

$$=\left\{\left[\\begin{array}{c} -180 \\\\ 40\cdot\sin{\left(\frac{1}{20}n\right)} \\end{array}\right],\hspace{0.1cm}\left[\\begin{array}{c} -180 \\\\ 30\cdot\sin{\left(\frac{1}{25}n\right)} \\end{array}\right],\hspace{0.1cm}\left[\\begin{array}{c} -180 \\\\ 20\cdot\sin{\left(\frac{1}{30}n\right)} \\end{array}\right],\hspace{0.1cm}\left[\\begin{array}{c} -180 \\\\ 10\cdot\sin{\left(\frac{1}{35}n\right)} \\end{array}\right]\right\}$$ un conjunto de cuatro puntos en \$\mathbb{R}^2\$, indexados por \$n=1,2,3,\dots\$.

Notemos, la segunda coordenada del punto \$P_{1n}\$ posee un periodo de \$40\pi<70\pi\$ al comparar con la coordenada de \$P_{4n}\$. Además, posee una amplitud de \$40>10\$ al comparar con la amplitud de la coordenada de \$P_{4n}\$. En conclusión, la segunda coordenada de \$P_{1n}\$ oscila mas rápido que la segunda coordenada de \$P_{4n}\$.

Ahora bien, sea \$T\$ una traslación horizontal de \$90\$ unidades y \$T_{\alpha}\$ una traslación vertical de \$\alpha\$ unidades, donde \$\alpha\in\left\{-160,-40,40,160\right\}\$. Cuando \$\alpha = -160\$, tenemos que la sucesión

$$T_{-160}\left(P_{1n}\right)$$

$$T\circ T_{-160}\left(P_{2n}\right)$$

$$T\circ T\circ T_{-160}\left(P_{3n}\right)$$

$$T\circ T\circ T\circ T_{-160}\left(P_{4n}\right)$$

nos da el lugar en donde cuatro regiones rectangulares se visualizan en el lienzo de la siguiente forma:

Dado \$\alpha\$ fijo, la correspondencia

$$T_{\alpha} \longmapsto P_{1n}$$

$$T\circ T_{\alpha} \longmapsto P_{2n}$$

$$T\circ T\circ T_{\alpha} \longmapsto P_{3n}$$

$$T\circ T\circ T\circ T_{\alpha} \longmapsto P_{4n}$$

permite definir en el lienzo una sucesión de cuatro rectángulos similar a la anterior sucesión. Al recorrer \$\alpha\$ en el conjunto \$\left\{-160,-40,40,160\right\}\$ se tiene la composición final:

#Generalidad #processing

Mod

Consideramos un subconjunto de \$\mathbb{R}^2\$ como lienzo rectangular de dimensiones \$360\$ ancho, \$640\$ alto.

Sean \$P=\bigl[\\begin{smallmatrix}1 \\\\ 1\\end{smallmatrix}\bigr],\hspace{0.1cm}Q=\bigl[\\begin{smallmatrix}1 \\\\ n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4\\end{smallmatrix}\bigr]\$ dos puntos a los cuales aplicamos la transformación $$T_n=\left[\\begin{array}{cc} \cos{\left(n\right)} & -\sin{\left(n\right)} \\\\ \sin{\left(n\right)} & \cos{\left(n\right)} \\end{array}\right].$$ Obtenemos

$$T_n(P)=\left[\\begin{array}{c} \cos{\left(n\right)}-\sin{\left(n\right)} \\\\ \sin{\left(n\right)}+\cos{\left(n\right)} \\end{array}\right],$$

$$T_n(Q)=\left[\\begin{array}{c} \cos{\left(n\right)} -(n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4)\cdot\sin{\left(n\right)}\\\\ \sin{\left(n\right)}+ (n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4)\cdot\cos{\left(n\right)}\\end{array}\right],$$

para \$n=1,2,3,\dots.\$

Si consideramos la proyección de \$T_{n}(P), T_{n}(Q)\$ respecto a la primera y segunda coordenada respectivamente, podemos tomar el punto $$R_n=\left[\\begin{array}{c} \cos{\left(n\right)}-\sin{\left(n\right)} \\\\ \sin{\left(n\right)}+ (n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4)\cdot\cos{\left(n\right)}\\end{array}\right].$$

Mientras \$n\$ toma valores \$1,2,3,\dots\$, la expresión \$n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4\$ toma valores en función de \$n\$ de la siguiente forma: $$1,2,3,4,5,6,7,8,\dots\longrightarrow 1,2,3,0,1,2,3,0,\dots$$

Así pues, para cada valor de \$n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4\$, el punto \$R_{n}\$ posee una configuración distinta:

Si \$n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4 = \hspace{0.1cm}1\$, tenemos que \$R_{n}\$ y un punto trasladado son:

Si \$n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4 = \hspace{0.1cm}2\$, tenemos que \$R_{n}\$ y un punto trasladado son:

De manera similar, si \$n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4 = \hspace{0.1cm}3\$, tenemos:

La composición final considera la igualdad \$n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4 = \hspace{0.1cm}0\$, entonces \$R_{n}\$ y un punto trasladado son:

#Generalidad #processing

Ellipse

Consideramos un subconjunto de \$\mathbb{R}^2\$ lienzo rectangular de dimensiones \$360\$ ancho, \$640\$ alto.

Sean \$P=\bigl[\\begin{smallmatrix}1 \\\\ (-1)^n\\end{smallmatrix}\bigr],\hspace{0.1cm}Q=\bigl[\\begin{smallmatrix}1 \\\\ 0\\end{smallmatrix}\bigr]\$ dos puntos a los cuales aplicamos la transformación $$T_n=\left[\\begin{array}{cc} \cos{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} & -\sin{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} \\\\ \sin{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} & \cos{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} \\end{array}\right].$$ Obtenemos $$T_n(P)=\left[\\begin{array}{c} \cos{\left(\frac{n\pi}{180}\right)}-(-1)^{n}\sin{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} \\\\ \sin{\left(\frac{n\pi}{180}\right)}+\cos{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} \\end{array}\right],$$

$$T_n(Q)=\left[\\begin{array}{c} \cos{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} \\\\ \sin{\left(\frac{n\pi}{180}\right)}\\end{array}\right],$$

para \$n=1,2,3,\dots.\$

Si consideramos la proyección de \$T_{n}(P), T_{n}(Q)\$ respecto a la primera y segunda coordenada respectivamente, podemos tomar el punto $$R_n=\left[\\begin{array}{c} \cos{\left(\frac{n\pi}{180}\right)}-(-1)^{n}\sin{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} \\\\ \sin{\left(\frac{n\pi}{180}\right)}\\end{array}\right].$$

Ahora bien, sabemos que el punto $$R=\left[\\begin{array}{c} \cos{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} \\\\ \sin{\left(\frac{n\pi}{180}\right)} \\end{array}\right]$$ está asociado a una circunferencia, si bien \$R_{n}\$ es similar a \$R\$, cuando \$n\$ es impar se ve que la primera coordenada de \$R_{n}\$ aumenta mientras que la segunda coordenada mantiene su curso con respecto a \$R\$, en definitiva la sucesión \$100\cdot R_{n}\$ es:

Por otro lado, cuando \$n\$ es par obtenemos:

Al considerar \$n=1,2,3,\dots,\$ la sucesión \$100\cdot R_{n}\$ es:

La composición final se basa en considerar las sucesiones:

$$\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ - 180 \\end{array}\right]+80\cdot R_{n}$$

$$\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ - 90 \\end{array}\right]+90\cdot R_{n}$$

$$100\cdot R_{n}$$

$$\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 90 \\end{array}\right]+110\cdot R_{n}$$

#Generalidad

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Letter

Considerar un lienzo de \$360\$ ancho, \$640\$ alto que contiene el origen \$P_{0}=\bigl[\\begin{smallmatrix}0 \\\\ 0\\end{smallmatrix}\bigr]\in\hspace{0.1cm}\mathbb{R}^2\$. Movilizamos el punto \$P_0\$ hacia arriba con la expresión $$P_{n}=P_{n-1}+v,$$

donde \$v\$ es un vector velocidad dado por \$v=\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\end{array}\right]\$ y \$n=1,2,3,\dots\$.

Una vez que el índice \$n\$ verifica \$|P_{n}-P_0|\geq \alpha\$, con \$\alpha\$ algún valor positivo, el vector velocidad \$v\$ cambia a $$v=\left[\\begin{array}{cc} \cos{\beta m} & -\sin{\beta m} \\\\ \sin{\beta m} & \cos{\beta m} \\end{array}\right]\left[\\begin{array}{c} 1 \\\\ 0 \\end{array}\right],$$con un \$\beta>0\$ y un índice \$m\$ que aumenta toda vez que \$|P_{n}-P_0|\geq \alpha\$. De hecho, podemos visualizar

La composición final, se basa en considerar tres objetos con puntos iniciales $$P_0\hspace{0.1cm}\in\left\{\left[\\begin{array}{c} -180 \\\\ -180 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} -90 \\\\ 0 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} -45 \\\\ 90 \\end{array}\right]\right\},$$ y valores correspondientes

$$\alpha\hspace{0.1cm}\in\left\{360,360,120\right\},$$

$$\beta\hspace{0.1cm}\in\left\{\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{8}\right\},$$es decir

#Generalidad

Rescalamiento

Considerar un lienzo de \$360\$ ancho, \$640\$ alto y el origen \$P_{0}=\bigl[\\begin{smallmatrix}0 \\\\ 0\\end{smallmatrix}\bigr]\in\hspace{0.1cm}\mathbb{R}^2\$ que asumimos está en nuestro lienzo. A partir de la expresión $$P_{n}=P_{n-1}+T\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\end{array}\right],$$ con \$n=1,2,3,\dots\$ podemos generar la sucesión $$\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 2 \\end{array}\right],\dots,\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 179 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 180 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 179 \\end{array}\right],\dots,\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 2 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 0 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\end{array}\right],\dots$$ con \$T\$ intercalando su valor en \$\left[\\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{array}\right]\$ ó \$\left[\\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 0 & -1 \\end{array}\right]\$ toda vez que \$|P_n|\geq 180\$.

Ahora bien, un rectángulo \$R_n\$ lo podemos definir a partir de los siguientes vértices:

$$v_{1_n}=P_{n},\hspace{3cm}v_{2_n}=P_{n}+\left[\\begin{array}{c} 200 \\\\ 0 \\end{array}\right],$$

$$v_{3_n}=P_{n}+\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ -20 \\end{array}\right],\hspace{3cm}v_{4_n}=P_{n}+\left[\\begin{array}{c} 200 \\\\ -20 \\end{array}\right],$$

Para \$n=1\$, tenemos \$R_{1}\$:

Si consideramos la transformación \$T=\left[\\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{2} \\end{array}\right]\$ y la aplicamos a \$R_{1}\$ contraemos dicho rectángulo, es decir:

Por otro lado, si consideramos la sucesión de números \$a_{n}\$:

$$a_{n}\in\hspace{0.1cm}\left\{\frac{1}{255},\frac{2}{255},\dots,\frac{255}{255},\frac{254}{255},\dots,\frac{1}{255},\frac{2}{255}, \dots\right\}$$

y la familia de transformaciones \$T_{n}=\left[\\begin{array}{cc} a_{n} & 0 \\\\ 0 & a_{n} \\end{array}\right]\$, al aplicarlas a los rectángulos \$R_{n}\$, obtenemos

Finalmente, con un rectángulo adicional simétrico a \$R_{n}\$ respecto al origen, se obtiene la composición final.

#Generalidad #Vimeo

Transformación

Consideramos un subconjunto de \$\mathbb{R}^2\$ como lienzo rectangular de dimensiones \$360\$ ancho, \$640\$ alto.

Sea \$P_{0}=\bigl[\\begin{smallmatrix}45 \\\\ 0\\end{smallmatrix}\bigr]\in\hspace{0.1cm}\mathbb{R}^2\$, un punto a partir del cual se define las sucesiones: $$P_{n+1}=P_{n}+\left[\\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{array}\right]\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\end{array}\right],$$

$$P_{n+1}=P_{n}+\left[\\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 0 & -1 \\end{array}\right]\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\end{array}\right],$$para \$n=0,1,2,\dots \$.

Varios ejemplos de estos puntos son \$\bigl[\\begin{smallmatrix}45 \\\\ 1\\end{smallmatrix}\bigr],\bigl[\\begin{smallmatrix}45 \\\\ -1\\end{smallmatrix}\bigr],\bigl[\\begin{smallmatrix}45 \\\\ 2\\end{smallmatrix}\bigr]\$, etc. Los anteriores puntos nos permiten crear:

De hecho, las transformaciones \$\bigl[\\begin{smallmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{smallmatrix}\bigr],\bigl[\\begin{smallmatrix}-1 & 0 \\\\ 0 & -1 \\end{smallmatrix}\bigr]\$, están asociadas con movimientos hacia arriba y abajo respectivamente.

Si consideramos la rotación \$T=\left[\\begin{array}{cc} \cos{\frac{\pi}{4}} & -\sin{\frac{\pi}{4}} \\\\ \sin{\frac{\pi}{4}} & \cos{\frac{\pi}{4}} \\end{array}\right]\$ y se aplica a los puntos \$P_{n}\$, obtenemos la sucesión \$T(P_{n})\$ que se visualiza así:

La transformación \$T\$ se define a partir del ángulo fijo \$\frac{\pi}{4}\$, por otro lado, la familia \$T_n\$ de transformaciones: $$T_{n}=\left[\\begin{array}{cc} \cos{(n+1)} & -\sin{(n+1)} \\\\ \sin{(n+1)} & \cos{(n+1)} \\end{array}\right]$$

permite conseguir puntos definidos por:

$$P'_n=\left[\\begin{array}{cc} \cos{(n+1)} & -\sin{(n+1)} \\\\ \sin{(n+1)} & \cos{(n+1)} \\end{array}\right]\left[\\begin{array}{c} 45 \\\\ n \\end{array}\right]=T_{n}(P_{n}),$$

que generan la composición final.

#Generalidad #processing

#Generalidad

Cercano

En un camino \$\gamma\$ consideramos una sucesión de puntos \$P_0,P_1,\dots,P_n\$. Consideramos la distancia entre puntos consecutivos \$d_{\textrm{max}}(P_{i-1},P_i)\$ y sumamos estas \$n\$ distancias para formar un número \$s_n\$. Incrementamos \$n\$ de manera arbitraria, luego \$s_n\$ es una “suma infinita” de números \$d_{\textrm{max}}(P_{i-1},P_i)\$. En esta publicación asocio un grafico al hecho de que $$\lim_{n \rightarrow \infty} s_n=\sum_{i=1}^{\infty} d_{\textrm{max}}(P_{i-1},P_i) = 1.$$

#didáctica

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Cercano

La primera figura \$G_1\$ indica puntos acercándose a un punto que pertenece a un conjunto pequeño. La última figura \$G_3\$ indica puntos acercándose a un punto que pertenece a un conjunto aún mas pequeño.

#Generalidad

Bola

La bola de centro \$P\in X\$ radio \$\varepsilon\$, es el conjunto de puntos en \$X\$ cuya distancia \$d_X\$ hacia \$P\$ es menor que \$\varepsilon\$.

#Modelo

#Generalidad

Distancia Máximo

Sea \$\gamma\$ un camino rectilíneo en \$\mathbb{R}^2\$ de \$P=(0,0)\$ a \$Q=(4,0)\$ pasando por \$R=(4,3)\$. El punto \$Q\$ está alejado de \$P\$ con un valor de distancia \$4\$. En esta publicación asocio un gráfico al hecho de que no hay punto \$R\$ en \$\gamma\$ que esté tan alejado de \$P\$ como para superar el valor \$4\$ en distancia. Es decir, asocio un gráfica al hecho de que no hay punto \$R\$ en \$\gamma\$ que verifique $$ d_{\textrm{max}}\left( P,Q \right) < d_{\textrm{max}}\left( P,R \right). $$

#Didáctica

Máximo

La primera figura \$G_1\$ se asocia con calcular la distancia desde el origen a un primer punto elegido, la última \$G_4\$ se asocia con calcular la distancia desde el origen a un cuarto punto elegido mas alejado.

#Generalidad

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Continuidad

La continuidad de una función \$P = P(t)\$, se asocia con los movimientos cercanos para la variable independiente \$t\$ siempre que \$P\$ realice movimientos cercanos.

#Modelo

#Generalidad

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