#generalidad

Sev

Consideramos un subconjunto de \\(\mathbb{R}^2\\) como lienzo rectangular de dimensiones \\(360\\) ancho, \\(640\\) alto. Este lienzo contiene el origen \\(\bigl[\\begin{smallmatrix}0 \\\\ 0\\end{smallmatrix}\bigr]\in\hspace{0.1cm}\mathbb{R}^2 \\) en el centro del lienzo.

Sea \\(W=\left\{\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ y \\end{array}\right]: \hspace{0.1cm}y\in\mathbb{R}\right\}\subset\hspace{0.1cm}\mathbb{R}^2\\) la línea vertical que contiene el origen. Sobre \\(W\\) consideramos un conjunto finito de \\(2k+1\\) puntos sobre los cuales dibujamos rectángulos de ancho: $$\left(\frac{\left|j\right|}{4}\cdot\frac{180}{4}\right)+\varepsilon$$ y alto: $$\frac{320}{k},$$ con \\(j=-k,\dots,-1,0,1,\dots,k\\) y \\(\varepsilon>0\\) un número que varía de manera aleatoria.

Cuando \\(k=\hspace{0.1cm}8\\), el índice \\(j\\) toma valores $$j=-8,-7,-6,-5,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8$$ y tenemos los siguientes \\(2k+1=17\\) rectángulos:

En este post, la idea es rotar este \\(W\\) con sus objetos, para esto considerar las rotaciones $$R_{n}=\left[\\begin{array}{cc} \cos{\left(n\right)} & -\sin{\left(n\right)} \\\\ \sin{\left(n\right)} & \cos{\left(n\right)} \\end{array}\right],$$ con \\(n=1,2,3,\dots\\)

Al momento que la familia \\(R_{n}\\) comienza a rotar a \\(W\\), cada \\(90\\) unidades de rotación \\(W\\) y sus objetos se escalan en \\(\frac{9}{16}=\frac{360}{640}\\) y retornan a su escalamiento original. Para \\(n = 90\\), el anterior ejemplo de \\(W\\) posee la siguiente configuración:

Es importante recalcar que las rotaciones y escalamientos son transformaciones lineales, luego el origen \\(\bigl[\\begin{smallmatrix}0 \\\\ 0\\end{smallmatrix}\bigr]\in\hspace{0.1cm}W\\) queda fijo.

La composición final, consiste en considerar \\(k\\) en \\(8,6,4\\) y para cada \\(k\\) la construcción, rotación y escalamiento de rectángulos sobre \\(W\\).

Push

Consideramos un subconjunto de \\(\mathbb{R}^2\\) como lienzo rectangular de dimensiones \\(360\\) ancho, \\(640\\) alto. Este lienzo contiene el origen \\(\bigl[\\begin{smallmatrix}0 \\\\ 0\\end{smallmatrix}\bigr]\in\hspace{0.1cm}\mathbb{R}^2 \\).

Consideramos una elipse \\(E\\) centrada en el origen de ancho \\(90\\) y alto \\(160\\).

Sea \\(n=1\\), para este valor, consideramos una familia de traslaciones verticales \\(T_{j}\\) definidas como $$T_{j}:\left[\\begin{array}{c} x \\\\ y \\end{array}\right]\longmapsto\left[\\begin{array}{c} x \\\\ y \\end{array}\right]+160\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ \sum_{i=1}^{j}\frac{1}{i}\\end{array}\right],$$con \\(j=1,2,\dots,15\\). Con el índice \\(j\\) anterior, se toma la sucesión de rotaciones $$R_{jn}=\left[\\begin{array}{cc} \cos{\left(jn\right)} & -\sin{\left(jn\right)} \\\\ \sin{\left(jn\right)} & \cos{\left(jn\right)} \\end{array}\right].$$ Entonces, al aplicar dicha sucesión de rotaciones a \\(E\\), obtenemos la familia \\(T_{j-1}\circ R_{jn}(E)\\) que se visualiza de la siguiente forma:

Del anterior gráfico, se asume que \\(T_{0}\\) es la aplicación identidad. De manera inductiva, si \\(n=15\\), la sucesión de elipses es la siguiente

Sen

Consideramos un subconjunto de \\(\mathbb{R}^2\\) como lienzo rectangular de dimensiones \\(360\\) ancho, \\(640\\) alto. Este lienzo contiene el origen en su centro.

Sea: $$\left\{P_{1n},P_{2n},P_{3n},P_{4n}\right\}$$

$$=\left\{\left[\\begin{array}{c} -180 \\\\ 40\cdot\sin{\left(\frac{1}{20}n\right)} \\end{array}\right],\hspace{0.1cm}\left[\\begin{array}{c} -180 \\\\ 30\cdot\sin{\left(\frac{1}{25}n\right)} \\end{array}\right],\hspace{0.1cm}\left[\\begin{array}{c} -180 \\\\ 20\cdot\sin{\left(\frac{1}{30}n\right)} \\end{array}\right],\hspace{0.1cm}\left[\\begin{array}{c} -180 \\\\ 10\cdot\sin{\left(\frac{1}{35}n\right)} \\end{array}\right]\right\}$$ un conjunto de cuatro puntos en \\(\mathbb{R}^2\\), indexados por \\(n=1,2,3,\dots\\).

Notemos, la segunda coordenada del punto \\(P_{1n}\\) posee un periodo de \\(40\pi<70\pi\\) al comparar con la coordenada de \\(P_{4n}\\). Además, posee una amplitud de \\(40>10\\) al comparar con la amplitud de la coordenada de \\(P_{4n}\\). En conclusión, la segunda coordenada de \\(P_{1n}\\) oscila mas rápido que la segunda coordenada de \\(P_{4n}\\).

Ahora bien, sea \\(T\\) una traslación horizontal de \\(90\\) unidades y \\(T_{\alpha}\\) una traslación vertical de \\(\alpha\\) unidades, donde \\(\alpha\in\left\{-160,-40,40,160\right\}\\). Cuando \\(\alpha = -160\\), tenemos que la sucesión

$$T_{-160}\left(P_{1n}\right)$$

$$T\circ T_{-160}\left(P_{2n}\right)$$

$$T\circ T\circ T_{-160}\left(P_{3n}\right)$$

$$T\circ T\circ T\circ T_{-160}\left(P_{4n}\right)$$

nos da el lugar en donde cuatro regiones rectangulares se visualizan en el lienzo de la siguiente forma:

Dado \\(\alpha\\) fijo, la correspondencia

$$T_{\alpha} \longmapsto P_{1n}$$

$$T\circ T_{\alpha} \longmapsto P_{2n}$$

$$T\circ T\circ T_{\alpha} \longmapsto P_{3n}$$

$$T\circ T\circ T\circ T_{\alpha} \longmapsto P_{4n}$$

permite definir en el lienzo una sucesión de cuatro rectángulos similar a la anterior sucesión. Al recorrer \\(\alpha\\) en el conjunto \\(\left\{-160,-40,40,160\right\}\\) se tiene la composición final:

Mod

Consideramos un subconjunto de \\(\mathbb{R}^2\\) como lienzo rectangular de dimensiones \\(360\\) ancho, \\(640\\) alto.

Sean \\(P=\bigl[\\begin{smallmatrix}1 \\\\ 1\\end{smallmatrix}\bigr],\hspace{0.1cm}Q=\bigl[\\begin{smallmatrix}1 \\\\ n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4\\end{smallmatrix}\bigr]\\) dos puntos a los cuales aplicamos la transformación $$T_n=\left[\\begin{array}{cc} \cos{\left(n\right)} & -\sin{\left(n\right)} \\\\ \sin{\left(n\right)} & \cos{\left(n\right)} \\end{array}\right].$$ Obtenemos

$$T_n(P)=\left[\\begin{array}{c} \cos{\left(n\right)}-\sin{\left(n\right)} \\\\ \sin{\left(n\right)}+\cos{\left(n\right)} \\end{array}\right],$$

$$T_n(Q)=\left[\\begin{array}{c} \cos{\left(n\right)} -(n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4)\cdot\sin{\left(n\right)}\\\\ \sin{\left(n\right)}+ (n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4)\cdot\cos{\left(n\right)}\\end{array}\right],$$

para \\(n=1,2,3,\dots.\\)

Si consideramos la proyección de \\(T_{n}(P), T_{n}(Q)\\) respecto a la primera y segunda coordenada respectivamente, podemos tomar el punto $$R_n=\left[\\begin{array}{c} \cos{\left(n\right)}-\sin{\left(n\right)} \\\\ \sin{\left(n\right)}+ (n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4)\cdot\cos{\left(n\right)}\\end{array}\right].$$

Mientras \\(n\\) toma valores \\(1,2,3,\dots\\), la expresión \\(n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4\\) toma valores en función de \\(n\\) de la siguiente forma: $$1,2,3,4,5,6,7,8,\dots\longrightarrow 1,2,3,0,1,2,3,0,\dots$$

Así pues, para cada valor de \\(n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4\\), el punto \\(R_{n}\\) posee una configuración distinta:

Si \\(n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4 = \hspace{0.1cm}1\\), tenemos que \\(R_{n}\\) y un punto trasladado son:

Si \\(n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4 = \hspace{0.1cm}2\\), tenemos que \\(R_{n}\\) y un punto trasladado son:

De manera similar, si \\(n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4 = \hspace{0.1cm}3\\), tenemos:

La composición final considera la igualdad \\(n\hspace{0.1cm}\textrm{mod}\hspace{0.1cm} 4 = \hspace{0.1cm}0\\), entonces \\(R_{n}\\) y un punto trasladado son:

Rescalamiento

Considerar un lienzo de \\(360\\) ancho, \\(640\\) alto y el origen \\(P_{0}=\bigl[\\begin{smallmatrix}0 \\\\ 0\\end{smallmatrix}\bigr]\in\hspace{0.1cm}\mathbb{R}^2\\) que asumimos está en nuestro lienzo. A partir de la expresión $$P_{n}=P_{n-1}+T\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\end{array}\right],$$ con \\(n=1,2,3,\dots\\) podemos generar la sucesión $$\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 2 \\end{array}\right],\dots,\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 179 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 180 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 179 \\end{array}\right],\dots,\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 2 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 0 \\end{array}\right],\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\end{array}\right],\dots$$ con \\(T\\) intercalando su valor en \\(\left[\\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{array}\right]\\) ó \\(\left[\\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 0 & -1 \\end{array}\right]\\) toda vez que \\(|P_n|\geq 180\\).

Ahora bien, un rectángulo \\(R_n\\) lo podemos definir a partir de los siguientes vértices:

$$v_{1_n}=P_{n},\hspace{3cm}v_{2_n}=P_{n}+\left[\\begin{array}{c} 200 \\\\ 0 \\end{array}\right],$$

$$v_{3_n}=P_{n}+\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ -20 \\end{array}\right],\hspace{3cm}v_{4_n}=P_{n}+\left[\\begin{array}{c} 200 \\\\ -20 \\end{array}\right],$$

Para \\(n=1\\), tenemos \\(R_{1}\\):

Si consideramos la transformación \\(T=\left[\\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{2} \\end{array}\right]\\) y la aplicamos a \\(R_{1}\\) contraemos dicho rectángulo, es decir:

Por otro lado, si consideramos la sucesión de números \\(a_{n}\\):

$$a_{n}\in\hspace{0.1cm}\left\{\frac{1}{255},\frac{2}{255},\dots,\frac{255}{255},\frac{254}{255},\dots,\frac{1}{255},\frac{2}{255}, \dots\right\}$$

y la familia de transformaciones \\(T_{n}=\left[\\begin{array}{cc} a_{n} & 0 \\\\ 0 & a_{n} \\end{array}\right]\\), al aplicarlas a los rectángulos \\(R_{n}\\), obtenemos

Finalmente, con un rectángulo adicional simétrico a \\(R_{n}\\) respecto al origen, se obtiene la composición final.

Cercano