#hyperbolic function

本題の積分を計算する前に...... 今回用いる双曲線関数について少し触れておきたいと思います.

双曲線関数とは

まず,双曲線関数とは以下で定義される関数の事を言います.

\begin{align} \label{sinh} \sinh(x) := \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\\ \cosh(x) := \frac{e^x + e^{-x}}{2} \end{align}

sinh,coshをそれぞれ双曲線正弦関数 (hyperbolic sine; ハイパボリック サイン), 双曲線余弦関数 (hyperbolic cosine; ハイパボリック コサイン) と呼びます.

実は,これらの双曲線関数は三角関数のアナロジーで得られるもので,以下の相互関係式も定義されます！

\begin{align} \label{tanh} \tanh(x) &:= \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \\\ \label{Interrelationship} \cosh^2(x) - &\sinh^2(x) = 1 \end{align} 

ここで,式(\ref{tanh})のtanhを双曲線正接関数 (hyperbolic tangent; ハイパボリック タンジェント) と呼びます.

なお,式(\ref{Interrelationship})だけは三角関数の相互関係式と違い,sin(sinh)の部分の±の符号が逆なので注意！！ (cf. $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$  )

また,双曲線関数の微分はそれぞれ次のようになります.

\begin{align} \label{d_sinh} \frac{d}{dx}\sinh(x) &= \cosh(x) \\\ \frac{d}{dx} \cosh(x) &=  \sinh(x) \\\ \frac{d}{dx} \tanh(x) &=  \frac{1}{\cosh^2(x)} \end{align} 

これもまた,三角関数のアナロジーになっていますね！

さらに,双曲線関数は三角関数と同様に加法定理も成り立ちます！！

\begin{align} \label{sinh_plus} \sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y \\\ \sinh (x-y)=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y \\\ \cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y \\\ \cosh (x-y)=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y \end{align} \begin{align} \tanh (x+y)=\dfrac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y} \\\ \tanh (x-y)=\dfrac{\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y} \\\ \end{align}     

ただし,三角関数の加法定理と形が似ていますが,符号が微妙に違うので注意して下さい. (cf. $\cos (x \pm y)=\cos x\cos y \mp \sin x\sin y, \tan (x \pm y)=\dfrac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x\tan y}$ )

次に,双曲線関数の逆関数である逆双曲線関数は次の様に定義されます.

\begin{align} \label{arsinh} \textrm{arsinh} (x) &:= \log(x+\sqrt{x^2+1}) \\\ \textrm{arcosh}(x) &:=\log(x \pm \sqrt{x^2-1}) \\\ \textrm{artanh}(x) &:= \frac{1}{2}\log\frac{1+x}{1-x} \end{align} 

arsinh,arcosh,artanhをそれぞれ 逆双曲線正弦関数 (area hyperbolic sine; エリア ハイパボリック サイン), 逆双曲線余弦関数 (area hyperbolic cosine; エリア ハイパボリック コサイン), 逆双曲線正接関数 (area hyperbolic tangent; エリア ハイパボリック タンジェント) と呼びます.

英語呼称に “ area ” (面積) と名付けられている通り,逆双曲線関数は別名 「面積関数」（英: area function）とも呼ばれます.

さぁ,ここまでで今回の積分に必要な双曲線関数の知識は全て出揃いました. 本題の積分を解いていきましょう！

本題の積分について

それでは本題の積分 $$ \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx $$  を解いていきましょう！

今回は置換積分を用いて解いていきます. そこでまず,$$x = \sinh(t)$$と置換します. このとき,式(\ref{d_sinh})より,$$ dx = \cosh(t) dt $$が得られます.

これより,

\begin{align} \label{int1} \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx =  \int \frac{\sinh^2(t)}{\sqrt{ \sinh^2(t) +1}}\cdot  \cosh(t) dt   \end{align}

が得られます.

ここで,双曲線関数の相互関係式(\ref{Interrelationship})を変形すると,

\begin{align} \label{Interrelationship2} \cosh(t) =  \sqrt{ \sinh^2(t) +1} \end{align}

が得られます.

これより,式(\ref{int1})分母の$\sqrt{ \sinh^2(t) +1}$は$\cosh(t)$に代えられます. よって,

\begin{align} \label{int2} \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx =  \int \frac{\sinh^2(t)}{\cosh(t)}\cdot  \cosh(t) dt   =  \int \sinh^2(t) dt \end{align} 

が得られます.

式(\ref{int2})へsinh関数の定義式(\ref{sinh})を代入すると,

\begin{align} \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx &=  \int \sinh^2(t) dt =  \int (\frac{e^t - e^{-t}}{2})^2 dt \nonumber \\\ &= \frac{1}{4} \int (e^{2t} + e^{-2t} -2) dt =  \frac{1}{4}  (\frac{e^{2t}}{2} - \frac{e^{-2t}}{2} -2t)  \label{int3} \\\ &= \frac{1}{4} (\sinh(2t) -2t) = \frac{1}{4}\sinh(2t) - \frac{1}{2}t  \nonumber \end{align} 

が得られました！

最後に,初めに設定した$x = \sinh(t)$を$t$について逆関数をとってあげると, $$ t = \textrm{arsinh}(x) $$ が得られるので,これを式(\ref{int3})へ代入すると,

\begin{align} \label{int4} \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx = \frac{1}{4}\sinh(2 \textrm{arsinh}(x) ) - \frac{1}{2} \textrm{arsinh}(x) +C \end{align}

として解を得る事が出来ました！ (但し, $C$は任意定数)

しかし,この解の表記だと見慣れないかもしれないので,もうちょっと見やすい解の形でも表現してみましょう.

本題の積分のもう一つの表現

ここからは式(\ref{int4})をもう少し見やすい形で表現していきます. その為に本題の積分を式(\ref{int3})の形に書き直します.

\begin{align} \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx = \frac{1}{4}\sinh(2t) - \frac{1}{2}t . \tag{\ref{int3}} \end{align}

ここで式(\ref{int3})右辺第一項$ \sinh(2t) $に注目します. 双曲線関数は加法定理が成り立つのでした. このことから, 式(\ref{sinh_plus})よりsinhに関する2倍角の公式が得られます.

\begin{align} \label{sinh_2times} \sinh (2x)=2 \sinh (x)\cosh (x) \end{align}

これより,式(\ref{int3})は次の形に書き換えられます.

\begin{align} \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx &= \frac{1}{4}\sinh(2t) - \frac{1}{2}t \nonumber \\\ &= \frac{1}{4}\cdot  2 \sinh (t)\cosh (t) - \frac{1}{2}t \label{int5} \\\ &=  \frac{1}{2} \sinh (t)\cosh (t) - \frac{1}{2}t \nonumber \end{align}

ここで,式(\ref{Interrelationship2})を適用すると,

\begin{align} \label{int6} \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx = \frac{1}{2} \sinh(t)  \sqrt{\sinh^2(t) + 1} - \frac{1}{2}t  \end{align} 

が得られるので,$x = \sinh(t)$とその逆関数$ t = \textrm{arsinh}(x) $を代入しなおすと,

\begin{align} \label{int7} \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx = \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} - \frac{1}{2} \textrm{arsinh}(x) \end{align}

として得る事が出来ます.

最後に,$ \textrm{arsinh}(x) $に式(\ref{arsinh})を適用すると,

\begin{align} \label{int8} \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx = \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} - \frac{1}{2} \log(x+\sqrt{x^2+1}) +C \end{align}

として解を得る事が出来ました！ (但し, $C$は任意定数)

いかがでしたか？