실수에서 다음의 네 가지 평균을 정의할 수 있다. 1. 조화 평균 ([Harmonic Mean][hm]) : n개의 양의 실수 x1, x2, ⋯, xn에 대하여 n/(1/x1+1/x2+⋯+1/xn). 2. 기하 평균 ([Geometric Mean][gm]) : n개의 음이 아닌 실수 x1, x2, ⋯, xn에 대하여 (x1x2⋯xn)1/n. 3. 산술 평균 ([Arithmetic Mean][am]) : n개의 실수 x1, x2, ⋯, xn에 대하여 (x1+x2+⋯+xn)/n. 4. 이차 평균 ([Quadratic Mean][qm]) : n개의 실수 x1, x2, ⋯, xn에 대하여 ((x1² +x2²+⋯+xn²)/n)1/2. **이때, n개의 양의 실수에 대하여 HM ≤ GM ≤ AM ≤ QM 이 성립한다.** 우선 n개의 음이 아닌 실수에 대하여 AM≥GM이 성립함을 밝히자. 아래는 ‘Paul J. Nahin’의 [«최상의 최소»][wlb]의 부록A에 수록된 AM≥GM의 증명을 바탕으로 재구성한 것이다. ------------------------------- ## 보조정리 y1y2⋯yn = 1 을 만족하는 n개의 임의의 음이 아닌 실수 y1, y2, ⋯, yn에 대하여 y1 + y2 + ⋯ + yn ≥ n 이다. 단, 등호는 n개의 값이 모두 같을 때[^1]만 성립한다. ----------------------------- 위 보조정리는 모든 값들의 곱이 1인 경우의 AM≥GM이 성립함을 보여준다. 증명은 수학적 귀납법을 이용한다. n=1인 경우에는 자명하다. n=k인 경우에 성립한다고 가정하자. 이제 y1y2⋯ykyk+1=1 을 만족하는 k+1 개의 음이 아닌 실수 y1, y2, ⋯, yk, yk+1에 대하여 생각하자. 모든 값이 1보다 크면, 그들의 곱도 1 보다 커지므로 적어도 하나는 1 보다 작거나 같다. 이것을 yi라 하자. 반대로 모든 값이 1 보다 작으면, 그들의 곱도 1 보다 작아지므로 적어도 하나는 1 보다 크거나 같다. 이것을 yj라 하자. 즉, 1−yi ≥ 0 이고 1−yj ≤ 0 이다. 따라서, (1−yi)(1−yj) ≤ 0 이다. 이에 따라 다음이 성립한다. $$1+y_i y_j \leq y_i + y_j \tag{1} \label{1}$$ 1. **i = j** 이면, 첨자를 재배열하여 i=j=1 이라 하자. y1≤1, y1≥1 이므로 y1=1 이다. 그러면 k개의 음이 아닌 실수 y2, ⋯, yk, yk+1에 대하여 y2⋯ykyk+1 = 1 이므로 귀납법 가정에 의하여 y2 + ⋯ + yk + yk+1 ≥ k 이고, 등호는 y2 = ⋯ = yk = yk+1 일 때만 성립한다. 따라서 양변에 y1=1을 더하면, y1 + y2 + ⋯ + yk + yk+1 ≥ k+y1 = k+1 이다. 그리고 y2⋯ykyk+1 = 1 이므로 y2 = ⋯ = yk = yk+1 이면, y2 = ⋯ = yk = yk+1 = 1 이다. 그러므로 등호는 모든 값이 1일 때만 성립한다. 2. **i ≠ j** 이면, 첨자를 재배열하여 i=1, j=2 라고 하자. 그러면 부등식 $(\ref{1})$은 1 + y1y2 ≤ y1 + y2 가 되고 양변에 남은 값들을 더하면, 다음이 성립한다. $$y_1 + y_2 + y_3 + \cdots + y_k + y_{k+1} \geq 1 + y_1 y_2 + y_3 + \cdots + y_k + y_{k+1} \tag{2} \label{2}$$ 그런데 k개의 음이 아닌 실수 y1y2, y3, ⋯, yk, yk+1 에 대하여 (y1y2)y3⋯ykyk+1 = 1 이므로 귀납법 가정에 의하여 다음 부등식이 성립한다. $$y_1 y_2 + y_3 + \cdots + y_k + y_{k+1} \geq k \tag{3} \label{3}$$ 단, 등호는 y1y2 = y3 = ⋯ = yk = yk+1 일 때만 성립한다. 두 부등식 $(\ref{2})$와 $(\ref{3})$을 결합하면, 다음이 성립한다. $$y_1 + y_2 + \cdots + y_{k+1} \geq k+1 \tag{4} \label{4}$$ 그리고 (y1y2)y3⋯ykyk+1 = 1 이므로 y1y2 = y3 = ⋯ = yk = yk+1 이면, y1y2 = y3 = ⋯ = yk = yk+1 = 1 이다. 또한, 부등식 $(\ref{2})$에서 등호는 y1=1 또는 y2=1 일 때만 성립한다. 그런데, “y1=1 또는 y2=1” 이고, y1y2 = 1 이면 y1 = y2 = 1 이다. 그러므로 부등식 $(\ref{4})$에서 등호는 모든 값이 1일 때만 성립한다. n=k+1인 경우에도 성립하므로 수학적 귀납법에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 성립한다. ∎ 위 증명에서 “등호는 n개의 값이 모두 같을 때만 성립함”을 귀납법 가정에 포함하여 밝혔지만, 그러지 않고 따로 증명할 수도 있다.[^2] --------------------------------- ## AM ≥ GM n개의 음이 아닌 실수 x1, x2, ⋯, xn에 대하여 다음 부등식이 성립한다. (x1+x2+⋯+xn)/n ≥ (x1x2⋯xn)1/n 단, 등호는 n개의 값이 모두 같을 때에만 성립한다. ------------------------------- ⍺:= x1x2⋯xn 라 하고, 임의의 i에 대하여 yi:= xi/⍺1/n 라 하자. 그러면 각 yi는 음이 아니고, y1y2⋯yn=1 이다. 이는 보조정리의 조건을 충족한다. 그러므로, y1 + y2 + ⋯ + yn ≥ n 이다. 즉, 다음이 성립한다. $$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{\alpha^{1/n}} \geq n$$ 양변을 n으로 나누면, $$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n \alpha^{1/n}} \geq 1 = \frac{\alpha^{1/n}}{\alpha^{1/n}}$$ 양변에 ⍺1/n를 곱하면, $$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \alpha^{1/n}$$ ⍺ = x1x2⋯xn 이므로, AM ≥ GM 이 성립한다. 특히, 보조정리에 의하여 등호는 모든 yi = xi/⍺1/n가 같을 경우에만 성립한다. 즉, 등호는 모든 xi가 같을 경우에만 성립한다. ∎ ------------------------------ ## GM ≥ HM n개의 양의 실수 x1, x2, ⋯, xn에 대하여 다음 부등식이 성립한다. (x1x2⋯xn)1/n ≥ n/(1/x1+1/x2+⋯+1/xn) 단, 등호는 n개의 값이 모두 같을 때에만 성립한다. ------------------------------- n개의 양의 실수 1/x1, 1/x2, ⋯, 1/xn에 대하여 위에서 밝힌 AM≥GM에 의해 다음이 성립한다. (1/x1+1/x2+⋯+1/xn)/n ≥ 1/(x1x2⋯xn)1/n 이제 양변의 역수를 생각하면 자명하다. 등호 역시 AM≥GM에 의해 n개의 값이 모두 같을 때에만 성립한다. ∎ -------------------------------- 아래는 ‘Paul J. Nahin’의 [«최상의 최소»][wlb]의 부록B에 수록된 AM≤QM의 증명을 바탕으로 재구성한 것이다. ## AM ≤ QM n개의 실수 x1, x2, ⋯, xn에 대하여 다음 부등식이 성립한다. (x1+x2+⋯+xn)/n ≤ ((x1² +x2²+⋯+xn²)/n)1/2 단, 등호는 n개의 값이 모두 같을 때에만 성립한다. ----------------------------------- AM을 제곱하면, $$\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right)^{\\! \\! 2} \\! = \frac{1}{n^2} \\! \left( \sum_{i=1}^{n} {x_i}^2 + \sum_{i=1}^{n} \sum_{\substack{j=1 \\\\ j \neq i}}^{n} x_i x_j \right)$$ 그리고 실수의 제곱은 음이 아니므로, 0 ≤ (xi−xj)² = xi²+xj²−2xixj 이다. 즉, 2xixj ≤ xi²+xj² 이 성립한다. 특히, 등호는 xi=xj 일 경우에만 성립한다. 그러므로, 다음의 부등식이 성립하고 등호는 모든 xi의 값이 같은 때에만 성립한다. $$\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right)^{\\! \\! 2} \\! \leq \frac{1}{n^2} \\! \left( \sum_{i=1}^{n} {x_i}^2 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{\substack{j=1 \\\\ j \neq i}}^{n} \left( {x_i}^2 + {x_j}^2 \right) \right)$$ 위 부등식의 우변은 다음과 같이 쓸 수 있다. $$\frac{1}{2n^2} \\! \left( \sum_{i=1}^{n} \left( {x_i}^2 + {x_i}^2 \right) + \sum_{i=1}^{n} \sum_{\substack{j=1 \\\\ j \neq i}}^{n} \left( {x_i}^2 + {x_j}^2 \right) \right) = \frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \left( {x_i}^2 + {x_j}^2 \right)}{2n^2}$$ 따라서, 다음이 성립한다. $$\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right)^{\\! \\! 2} \\! \leq \frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \left( {x_i}^2 + {x_j}^2 \right)}{2n^2}$$ 그리고 $\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \left( {x_i}^2 + {x_j}^2 \right) = 2n \sum_{i=1}^{n} {x_i}^2$ 이므로, $$\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right)^{\\! \\! 2} \\! \leq \frac{\sum_{i=1}^{n} {x_i}^2}{n}$$ 이제 위의 부등식에 제곱근을 취하면 AM≤QM을 얻게 된다. 그리고 위에서 밝혔듯이 등호는 모든 xi의 값이 같은 때에만 성립한다. ∎ ----------------------------- ## HM ≤ GM ≤ AM ≤ QM 의 시각화 두 개의 양의 실수 a, b에 대하여 네 가지 평균을 아래와 같이 시각화 할 수 있다.