Lagrangegleichung 1. Art
Mich die Themen durchwälzend bin ich nun bei den Lagrangegleichungen angekommen. Diese Thematik beschreibt eine Methode, Bewegungsgleichungen (genauer: Bewegungen den Gesetzen Netwons folgend) eines Massepunktes aufzustellen.
Vorher beschäftigte ich mich mit Bezugssystemen. So kann man Koordinatensysteme definieren, die sich relativ zueinander bewegen. Dabei wurde die Galilei-Transformation eingeführt. Sie beschreibt eine Transformationsvorschrift zur Überführung von Koordinaten eines Inertialsystem in ein anderes. Der Begriff Intertialsystem heißt, dass eine Umgebung betrachtet wird, in dem Newtons Axiome gelten. So bewegt sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit weiter, wird keine Kraft auf ihn ausgeübt (F=ma) oder erzeugt eine Kraft immer eine Gegenkraft, die der anregenden Kraft betragsmäßig gleich kommt (actio=reactio). Ein beschleunigtes Bezugssystem, d. h. ein System, das sich mit einer Beschleunigung a relativ zu einem ruhenden Intertialsystem bewegt, bzw. dessen Koordinatentransformation, ist nicht invariant unter einer Galileitransformation. Folglich gelten Newtons Axiome in diesem Bezugssystem nicht, sondern nur unter Bestimmung von Zusatztermen. So lassen sich dann in rotierenden Bezugssystemen Corioliskraft und Zentrifugalkraft herleiten.
Newtons im Intertialsystem geltenden Axiome werden durch den Lagrangeformalismus 1. Art verallgemeinert. Dessen Grundlage erlaubt es, Probleme mit sogenannten Zwangskräften zu lösen. Weil man oft nicht an der Ermittelung dieser Kräfte interessiert ist, kann man auch einen Formalismus benutzen, um Zwangskräfte vollständig zu eliminieren. Dies sind die Lagrangegleichungen 2. Art. Dessen Verständis versuche ich mir in den kommenden Tagen anzueignen.
Die Relevanz 1. Art beschriebener Lagrangegleichung überzeugte durch das Einführungsbeispiel der Berechnung der Zwangskraft, die senkrecht zur Bewegungsrichtung auf einen Körper wirkt, der reibungsfrei in einem Winkel \alpha in der x-z-Ebene auf dem Weg s hinuntergleitet. Aus der Schule kannte ich diese Kraft als die Normalkraft. So setzt sich der Betrag dieser Kraft aus dem Produkt der Masse m des gleitenden Körpers, der (Erd-)Beschleunigung g, die stets “nach unten” wirkt und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels \alpha zusammen. Die Herleitung ergab zu meiner Bewunderung ebendieses Produkt. Damit ist jetzt eine Lücke gefüllt, die bewusst eigentlich nie existierte. Man nimmt Dinge zu oft als gegeben hin, wobei doch viel mehr dahintersteckt. Speziell in der Mathematik und Physik staune ich nicht selten über die Brillanz einiger Forscher und Theoretiker.
