#topoi

There are no theorems in category theory.

it was under this tree

The concept of (Grothendieck) topos was introduced by Alexandre Grothendieck in the early 1960s, in order to provide a mathematical underpinning for the 'exotic' cohomology theories needed in algebraic geometry. Every topological space 𝑿 gives rise to a topos (the category of sheaves of sets on 𝑿) and every topos in Grothendieck’s sense can be considered as a 'generalized space'. At the end of the same decade, William Lawvere and Myles Tierney realized that the concept of Grothendieck topos also yielded an abstract notion of mathematical universe within which one could carry out most familiar set-theoretic constructions, but which also, thanks to the inherent 'flexibility' of the notion of topos, could be profitably exploited to construct ‘new mathematical worlds’ having particular properties. A few years later, the theory of classifying toposes added a further fundamental viewpoint to the above-mentioned ones: a topos can be seen not only as a generalized space or as a mathematical universe, but also as a suitable kind of first-order theory (considered up to a general notion of equivalence of theories). In fact, every first-order... geometric theory) admits a canonical topos-theoretic model lying in the classifying topos of the theory, satisfying the universal property that every topos-theoretic model of the theory can be obtained as a pullback of this canonical model along a unique morphism of toposes. Such canonical models of mathematical theories do not exist in the classical set-theoretic setting, but any classical (i.e., set-based) model of the theory can be seen as a point of its classifying topos. Unfortunately, apart from a few isolated exceptions, the study of Grothendieck toposes in the context of Logic was essentially not pursued afterwards. In fact, a great part of the efforts of the categorical community in the past years had been focused on the study of elementary toposes, a more general (elementarily axiomatizable) class of categories in which one can consider models of arbitrary finitary first-order theories, but in which one cannot do geometry in a Grothendieckian sense due to the fact that elementary toposes do not in general admit sites of definition. Even though the study of these more general concepts has shed important light on the original concept of topos (in fact, it was seen that several concepts in Grothendieck's topos theory admitted an 'elementary' formulation), the concept of elementary topos has not been fruitful as a source of 'concrete' applications in different fields of Mathematics, essentially because of the lack of a non-trivial representation theory 'from below' analogous to that provided by sites (which in the context of Grothendieck toposes play the role of 'carriers of concrete mathematical information').

Interaction — concerning the range and types of engagement (between people, between people and information) encouraged or allowed by digital designs

“"[Abstraction] begins with the recognition, through experience and examination of a number of specific situations, that certain phenomena occur repeatedly, that there are a number of common features, that there are formal analogies in the behaviour of different entities. Then comes the actual process of abstraction, wherein these common features are singled out and presented in isolation; an axiomatic description of an "abstract" concept. This is precisely how we obtained our general definition of a category from an inspection of a list of particular categories. It is the same process by which all of the abstract structures that mathematics investigates (group, vector space, topological space etc) were arrived at.

Inutile far finta di nulla, in Italia abbiamo un problema enorme: gli stranieri. Per prima cosa ci rubano i lavori migliori. Infatti chiunque vorrebbe vendere accendini e occhiali da sole sul parcheggio della Coop, specialmente ora d'agosto, che c'è quella brezzolina che ti rimette al mondo. Invece quegli impieghi lì sono già tutti occupati dagli africani mentre i culi merdosi delle vecchie se li accaparrano subito le moldave. Uno farebbe carte false per occuparsene e invece nulla! Una vergogna. Che poi voi pensate davvero che questi arrivino coi barconi? Questi vengono con la Costa Crociere, altrimenti non si spiegherebbe quanto spendono per il viaggio, e poi una volta vicini alle acque italiane li trasferiscono sulle zattere per non pagare l'ormeggio, me l'ha detto un mio amico che conosce una che è venuta dall'Islam e s'è sposata per avere il visto, perché poi sono furbe eh, non ti credere. Ma se dipendesse da me, io la casa non gliela darei mica, prima gli italiani da almeno sette generazioni! Oddio, magari sette sono un po' troppe visto che l'Italia esiste da soli 150 anni ma il sangue è sangue e infatti Salvini lo dona a tutti, con il rischio che possa finire addirittura ai negri, poi ditene male! A proposito di sangue c'è da dire che questi immigrati sono tutti violenti, specie con le donne. Pensate che il 94% degli abusi avviene ad opera di familiari o conoscenti, ma gli altri? Eh? Lo sapete che in quel 6% di estranei ci potrebbero essere anche degli extracomunitari? No, non parlavo dei preti. Sì, ho capito, lo so che il Vaticano è uno Stato extracomunitario ma che c'entra? Loro mica ti trombano la moglie, al limite i figlioli. E poi le tasse? Vogliamo parlare delle tasse? Mi vorrete mica far credere che in quei 150 miliardi all'anno di evasione non ci siano anche quelli che vendono i parei sulle spiagge? No perché son cifre grosse eh! Io un giorno ho controllato, in un pomeriggio a Fetovaia un marocchino n'avrà venduti perlomeno tre. Te fai due conti! No via, bisogna fare qualcosa, e anche alla svelta. Se non altro per le malattie, perché questi qui vai a sapere cosa ci portano! Mica son come gli italiani che quando vanno a trombare le minorenni in Thailandia partono già bell'e vaccinati. Inutile dire, non è questione di essere razzisti, è proprio che noi abbiamo una cultura differente, non è mica un caso se siamo conosciuti nel mondo per essere persone oneste, rispettose delle leggi e incorruttibili! Invece lì, in Mussulmània, sono dei selvaggi: ammazzano le donne, picchiano gli omosessuali! Ve l'immaginate? Come se qui ci fosse ancora bisogno di fare una legge sull'omofobia! Nel 2015! Ma che scherziamo davvero? Via, ora vado sennò mi chiudono i cinesi e devo comprare il profumo per la macchina che stasera vò a troie brasiliane e se mi sgama la filippina poi lo dice alla mi' moglie. Di dov'è la mi' moglie? Rumena, perché?