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La potenza del raddoppio che rese ricco il leggendario inventore degli scacchi. Dalla leggenda della nascita degli scacchi e del gran visir Sissa ben Dhair nasce un importante spunto per capire la potenza del raddoppio e della crescita esponenziale. La cosiddetta potenza del raddoppio è una curiosità matematica legata alla leggenda dell'invenzione degli scacchi, ma è anche molto di più: ci aiuta per esempio a capire quanto sia incredibilmente rapida la crescita dei batteri oppure della tecnologia.

La domanda alla base di tutto è questa: se prendiamo una scacchiera e posizioniamo un chicco di grano sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza, otto sulla quarta e così via, raddoppiando di volta in volta i chicchi di grano fino alla sessantaquattresima casella della scacchiera, quanti chicchi di grano avremo? Così su due piedi, verrebbe da pensare che non siano molti. Sicuramente è quello che ha pensato il Re Shirham quando gli venne chiesta una tale quantità di grano da parte del gran visir Sissa ben Dhair per l'invenzione degli scacchi e non esitò ad accettare. In verità, dietro a un così banale calcolo, si nasconde una grandezza enorme, non troppo distante dal numero di stelle che si stima esistano nell'universo osservabile. La storia della potenza del raddoppio: la leggenda della scacchiera di Sissa Uno degli scritti più famosi che riportano la storia leggendaria della nascita degli scacchi risale al 1256 e si deve allo studioso e storico musulmano Ibn Khallikan. La storia narra del re indiano Shirham del VI secolo d.C. che, per ringraziare il gran visir Sissa ben Dhair per l'invenzione degli scacchi gli chiese di scegliere una ricompensa qualsiasi, essendo disposto a pagarlo profumatamente.

Sissa rispose con riconoscenza che avrebbe gradito del grano, così misurato: un chicco da mettere sulla prima casella della scacchiera, due chicchi sulla seconda, quattro chicchi sulla terza, otto chicchi sulla quarta e così via, raddoppiando il numero di chicchi di casella in casella fino alla sessantaquattresima casella della scacchiera. Il re rimase incredulo davanti a una scelta così modesta, ma solo perché non conosceva la potenza del raddoppio. Si trattava infatti di 18.446.744.073.709.551.615 chicchi, ovvero più di 18 miliardi di miliardi! Stiamo parlando di una quantità talmente grande da riuscire a ricoprire interamente la superficie del globo terrestre.

Questa semplice leggenda ha aiutato nei secoli a mostrare quanto sia rapida la crescita esponenziale e quanto sia facile per il ragionamento umano sottovalutarla. La potenza del raddoppio e il suo impatto Tornando all'esempio della scacchiera di Sissa, cerchiamo di capire quanto la crescita esponenziale come quella raccontata può essere impattante. Secondo il ragionamento di Sissa, nell'ottava casella troviamo 128 chicchi, nella 16a ne troviamo oltre 32 mila, nella 24a 8 milioni e nella 32a ben 2 miliardi! A una decina di caselle di distanza, siamo passati da centinaia a miliardi di chicchi. Sommando tutte queste quantità, otteniamo come già detto più di 18 miliardi di miliardi. Un calcolo del genere sembra mostruoso, ma può essere risolto facilmente come serie geometrica di ragione 2:

Un calcolo del genere può apparire irrilevante, ma non lo è affatto. La comprensione del raddoppio ci aiuta, per esempio, a capire quanto velocemente crescono i batteri. Questi microrganismi infatti si replicano per scissione binaria, cioè "dividendosi" in due. Ipotizzando che, in una determinata condizione, un batterio immortale si replichi una volta al minuto, significa che se partiamo da un solo batterio al minuto 0, dopo 1 minuto ne avremo 2, dopo 2 minuti ne avremo 4, dopo 3 saranno 8, dopo 4 saranno sedici e dopo soli 24 minuti ci ritroveremo con 8 milioni di batteri… e dopo 64 minuti con 18 miliardi di miliardi di batteri!

La tecnologia cresce a velocità esponenziali Gli esempi sopracitati possono aiutare a capire la potenza incredibile del raddoppio e della crescita esponenziale in generale. Nel 1965 l'americano Gordon Moore, cofondatore di Intel, osservò che il numero di transistor di un microchip raddoppiava ogni 18 mesi. Con la legge di Moore, il suo ideatore intendeva affermare che il progresso tecnologico cresce smisuratamente a velocità molto più che lineari.