#funkcija

Za početak, zamenimo izraz \( \frac{x-3}{2x+4} \) sa t. Preko t ćemo izračunati x.

\[ t=\frac{x-3}{2x+4}\] \[ x-3=t(2x+4) \] \[ x-3=2xt+4t \] \[ x-2xt=3+4t \] \[ x(1-2t)=3+4t \] \[ x=\frac{3+4t}{1-2t} \] \[ \]

Sada odredimo \( f^{-1}(x) \). t postaje x.

\[ f^{-1}(x)=\frac{\frac{3+4x}{1-2x}+1}{3\frac{3+4x}{1-2x}-1} \] \[ f^{-1}(x)=\frac{\frac{4+2x}{1-2x}}{\frac{9+12x}{1-2x}-\frac{1-2x}{1-2x}} \] \[ f^{-1}(x)=\frac{\frac{4+2x}{1-2x}}{\frac{8+14x}{1-2x}} \] \[ f^{-1}(x)=\frac{(1-2x)(4+2x)}{(1-2x)(8+14x)} \] \[ f^{-1}(x)=\frac{4+2x}{8+14x} \] \[ f^{-1}(x)=\frac{2+x}{4+7x} \] \[ \]

Sada kada smo odredili \( f^{-1}(x) \), odredićemo inverzno preslikavanje f(x). To ćemo uraditi tako što ćemo izraz \( \frac{2+x}{4+7x} \) zameniti sa \( y_{0} \). Preko \( y_{0} \) ćemo odrediti x.

\[ y_{0}=\frac{2+x}{4+7x} \] \[ 2+x=y_{0}(4+7x) \] \[ 2+x=4y_{0}+7xy_{0} \] \[ x-7xy_{0}=4y_{0}-2 \] \[ x(1-7y_{0})=4y_{0}-2 \] \[ x=\frac{4y_{0}-2}{1-7y_{0}} \] \[ \]

\( y_{0} \) postaje x. Dobili smo da je \( f(x)=\frac{4x-2}{1-7x} \)

\[ \]

Tražimo prvu sledeću funkciju u nizu, odnosno \( f_{3}(x) \):

\[ f_{3}(x)= f_{2}(f_{1}(x)) \] \[ f_{2}(\frac{x}{x-1}) = \frac{1}{1-\frac{x}{x-1}} \] \[ = \frac{1}{\frac{x-1-x}{x-1}} \] \[ = \frac{1}{\frac{-1}{x-1}} \] \[ = \frac{x-1}{-1} \] \[ = 1-x \] \[ \]

Tražimo sledeću funkciju, odnosno \( f_{4}(x) \):

\[ f_{4}(x) = f_{3}(f_{2}(x)) \] \[ = f_{3}(\frac{1}{1-x})= 1 - \frac{1}{1-x} \] \[ = \frac{1-x-1}{1-x} \] \[ = \frac{-x}{1-x} \] \[ = \frac{x}{x-1} \] \[ \]

Primećujemo da važi: \( f_{4}=f_{1} \), ali zahtevamo da se dve uzastopne funkcije iz niza podudaraju sa odgovarajućim parom funkcija koje smo dobili ranije. Zato nastavljamo sa računanjem i tražimo \( f_{5} \):

\[ f_{5}=f_{4}(f_{3}(x))=f_{4}(1-x) \] \[ = \frac{1-x}{1-x-1} \] \[ = \frac{x-1}{x} \] \[ \]

Zaključujemo da \( f_{5} \) nije jednako \( f_{2} \), pa računamo dalje:

\[ f_{6}(x)= f_{5}(f_{4}(x))= f_{5}( \frac{x}{x-1}) \] \[ = \frac{\frac{x}{(x-1)}-1}{\frac{x}{x-1}} \] \[ = \frac{\frac{x-x+1}{x-1}}{\frac{x}{x-1}} \] \[ = \frac{1}{x} \] \[ \]

Zaključujemo da \( f_{6} \) nije jednako ni jednoj prethodnoj funkciji, pa idemo dalje:

\[ f_{7}(x) = f_{6}(f_{5})= \frac{x}{x-1} \] \[ \]

Zaključujemo da je \( f_{7} = f_{1} \), pa moramo proveriti da li je \( f_{8} = f_{2} \):

\[ f_{8} =f_{7}(f_{6}(x))=f_{7}(\frac{1}{x}) \] \[ = \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}-1} \] \[ = \frac{1}{1-x} \] \[ \]

Zaključujemo da je \( f_{8}=f_{2} \), što znači da se funkcije ponavljaju nakon svakih 6 koraka. Sada proveravamo \( f_{1998}(x) \). Formiraćemo klase ekvivalencije na osnovu deljivosti sa 6. Broj 1998 je deljiv sa 6, i pripada klasi brojeva deljivih sa 6. U tu klasu spadaju funkcije \( f_{6},f_{12}...f_{1998}... \) Shodno tome računamo:

\[ f_{1998}(x) = \frac{1}{x} \] \[ f_{1998}(1998) = \frac{1}{1998} \] \[ \]

Izvršiću dve smene: \( x+1=k , \\ 2x+3=t \).

\[ x=k-1 , \\ x=(t-3)\div 2 \] \[ f(k)=3\cdot(k-1)+2 \] \[f(k)=3k-3+2 \] \[f(k)=3k-1 \] \[f(x)=3x-1 \]

Odredili smo f(x). Izračunajmo inverznu funkciju:

\[f(x)=y \] \[y=3x-1 \] \[3x=y+1 \] \[x=(y+1)\div 3 \] \[f^{-1}(x)=(x+1) \div 3 \]

Izračunali smo \( f^{-1} \). Odredimo funkciju g(x), uvođenjem druge smene u drugu funkcionalnu jednačinu:

\[g(t)=2-3\cdot(t-3)\div2 \] \[g(t)=2-(3t-9)\div2 \] \[g(t)=(4-(3t-9))\div2 \] \[g(t)=(4-3t+9)\div2 \] \[g(t)=(13-3t)\div2 \] \[g(x)=(13-3x)\div2 \]

Odredili smo g(x). Izračunajmo konačno traženu kompoziciju funkcija:

\[f^{-1} \circ g= f^{-1}(g(x))= \] \[f^{-1}((13-3x) \div2 )= \] \[(13-3\cdot(x+1)\div3)\div2= \] \[(13-x-1)\div2= \] \[(12-x)\div2= 6-x \div2 \]

Na taj način smo na kraju izračunali i traženu kompoziciju funkcija: \(f^{-1} \circ g = 6-x \div2 \).

Na početku ćemo uvesti smene \( t=\frac{1}{x} \); \( a=f(x) \) i \( b=f(\frac{1}{x}) \) :

\[ (\frac{1}{t}-1)\times b+a=\frac{1}{\frac{1}{t}-1} \]

Proširićemo jedinice na levoj i na desnoj strani jednakosti sa t, radi sabiranja:

\[ \frac{1-t}{t}\times b+a= \frac{1}{\frac{1-t}{t}}\]

Umesto t možemo pisati x:

\[ \frac{1-x}{x}\times b+a=\frac{1}{\frac{1-x}{x}}\] \[ \frac{1-x}{x}\times b+a=\frac{x}{1-x}\]

Dobili smo sistem od dve jednačine sa dve nepoznate. Sistem ćemo rešiti metodom suprotnih koeficijenata.

Početnu jednačinu ćemo pomnožiti sa \( \frac{-(1-x)}{x} \) :

\[ \frac{-(1-x)}{x}\times (x-1)\times a-\frac{(1-x)}{x}\times b=\frac{-(1-x)}{x}\times \frac{1}{x-1}\] \[ \frac{x-1}{x}\times (x-1)\times a-\frac{1-x}{x}\times b=\frac{x-1}{x}\times \frac{1}{x-1}\] \[ \frac{(x-1)^{2}}{x}\times a-\frac{1-x}{x}\times b=\frac{1}{x}\]

Sabraćemo novodobijenu jednačinu sa drugom jednačinom sistema \( \frac{1-x}{x}\times b+a=\frac{x}{1-x} \) :

\[ \frac{x^{2}-2x+1}{x}\times a+a=\frac{x}{1-x}+\frac{1}{x}\] \[ a\times(\frac{x^{2}-2x+1}{x}+1)=\frac{x}{1-x}+\frac{1}{x}\]

Jedinicu u zagradi na levoj strani proširićemo sa x, razlomak \( \frac{x}{1-x} \) sa x, a razlomak \( \frac{1}{x} \) sa (1-x) :

\[ a\times(\frac{x^{2}-2x+1+x}{x})=\frac{x^{2}}{x-x^{2}}+\frac{1-x}{x-x^{2}}\] \[ a\times(\frac{x^{2}-x+1}{x})=\frac{x^{2}-x+1}{x-x^{2}}\] \[ a=\frac{\frac{x^{2}-x+1}{x-x^{2}}}{\frac{x^{2}-x+1}{x}}\] \[ a=\frac{x}{x-x^{2}}\] \[ a=\frac{x}{x\times(1-x)}\] \[ a=\frac{1}{1-x}\]

Na taj način dobili smo traženu funkciju:

\[ f(x)=\frac{1}{1-x}\] \[ \]

Na početku ćemo uvesti smenu \( t=\frac{1}{x} \) :

\[ f(x)+2\times f(\frac{1}{x})=x \] \[ f(\frac{1}{t})+2\times f(t)= \frac{1}{t} \]

Umesto t ovde možemo koristiti x:

\[ f(\frac{1}{x}) +2\times f(x)= \frac{1}{x} \]

Dopisivanjem početne jednakosti kao druge jednačine, dobili smo sistem od dve jednačine sa dve nepoznate. Sistem ćemo rešiti metodom suprotnih koeficijenata:

\[ f(\frac{1}{x}) +2\times f(x)= \frac{1}{x} \] \[ f(x)+2\times f(\frac{1}{x})= x \]

Prvu jednačinu ćemo pomnožiti sa -2:

\[ -2\times f(\frac{1}{x})-4\times f(x)= \frac{-2}{x} \]

I potom sabrati sa drugom jednačinom iz sistema:

\[ -3\times f(x)= x-\frac{-2}{x} \] \[ -3\times f(x)= \frac{x^{2}-2}{x} \] \[ f(x)= \frac{x^{2}-2}{-3\times x} \] \[ f(x)= \frac{2-x^{2}}{3\times x} \]

Na taj način dobili smo traženu funkciju.