#xcombinazioni

Facciamo lo stesso ragionamento peri un elemento 4x4 (n = 4), sempre per due colori A e B (k=2).

Se per ciascuna riga e ciascuna colonna ammettessimo tutte le possibili combinazioni di colore, avremmo 16 x 16 x 16 x 16= 65536 (!!!) possibili ‘patterns’ per l'elemento. (16 è il numero delle possibili combinazioni per ciascuna delle 4 righe).

Se invece imponiamo la regola che per ogni riga debbano essere presenti entrambi i colori A e B, avremmo 14 x 14 x 14 x 14 = 38416 possibili ‘patterns’ per l'elemento. (14 è il numero delle possibili combinazioni per ciascuna delle 4 righe, a meno delle due righe 'tinta unita’ AAAA e BBBB).

Restringiamo la regola, stabilendo che per ciascuna riga ci debba essere un e un solo quadretto nero (cioè, a=1). Le possibili combinazioni per ciascuna delle 4 righe sono 4: ABBB, BABB, BBAB e BBBA. Ne consegue che i possibili 'patterns’ per l'elemento sono 'solo’ 4 x 4 x 4 x 4 = 256.

Imponiamo la regola che anche per ciascuna colonna ci debba essere un e un solo quadretto nero. Le possibili combinazioni per ciascuna delle 4 righe sono ancora 4 (ABBB, BABB BBAB e BBBA), ma nella seconda riga non potremo usare la stessa combinazione della prima riga, nella terza riga analogamente potremo usare solo due delle 4 combinazioni, mentre nella quarta riga potremo usare solo una delle combinazioni. Ne consegue che il numero dei possibili 'patterns’ è 4 x 3 x 2 x 1 = 4! = 24.

L'elemento 4x4 con le regole più restrittive imposte ha quindi 24 possibili patterns. Si tratta dell'elemento alla base dell'armatura saia 3|1 e del raso turco.

8 dei possibili 24 patterns rispettano anche una ulteriore regola: ad ogni riga il quadretto nero 'avanza’ (o 'retrocede’) di una posizione. Questi 8 patterns sono quelli dell'armatura saia 3|1. Vedremo a breve che solo 2 producono motivi originali: la saia 3|1 con spina S e quella con spina Z.

I rimanenti 16 possibili patterns sono quelli dell'armatura raso turco e sostanzialmente producono tutti lo stesso motivo, non essendo individuabile una direzione.

Aggiungiamo ora la seconda dimensione, ad iniziare dal caso di un elemento 2x2 (n = 2), ancora per due colori A e B (k=2).

Le combinazioni di colore per ciascuna riga e colonna sono 4: AA, AB, BA e BB. Se fossero tutte ammesse avremmo 4 x 4 = 16 per possibili patterns per l'elemento.

Ma abbiamo in mente di realizzare un'armatura tela, per cui ogni riga e ogni colonna deve presentare un quadretto nero e un quadretto bianco. Le combinazioni ammesse rimangono AB e BA. Inoltre se la prima riga è AB, la seconda non può essere uguale, perchè verrebbe a mancare il quadretto nero in una colonna e non si avrebbe intreccio.

Ne consegue che i possibili patterns sono solo 2: AB/BA e BA/AB.

In effetti, la formula che stabilisce il numero dei possibili patterns per l'elemento nxn con un e un solo quadretto nero per riga e per colonna è n!, e qui abbiamo appunto 2| = 2 x 1 = 2.

Potremmo chiamare tali patterns tela S e tela Z, in quanto il quadratino nero disegna appunto una diagonale a S e a Z rispettivamente.

Passiamo ora al caso di un elemento 3x3 (n = 3), sempre per due colori A e B (k=2).

Se per ciascuna riga e ciascuna colonna ammettessimo tutte le possibili combinazioni di colore, avremmo 8 x 8 x 8 = 512 possibili 'patterns' per l'elemento. (8 è il numero delle possibili combinazioni per ciascuna delle 3 righe).

Se tuttavia imponiamo la regola che per ogni riga debbano essere presenti entrambi i colori A e B, avremmo 6 x 6 x 6 = 216 possibili 'patterns' per l'elemento. (6 è il numero delle possibili combinazioni per ciascuna delle 3 righe, a meno delle due righe 'tinta unita' AAA e BBB).

Restringiamo ulteriormente la regola, stabilendo che per ciascuna riga ci debba essere un e un solo quadretto nero (cioè, a=1). Le combinazioni possibili per ciascuna delle 3 righe rimangono 3: ABB, BAB e BBA. Ne consegue che i possibili 'patterns' per l'elemento sono 3 x 3 x 3 = 27, come elencate in figura.

Infine imponiamo la regola che anche per ciascuna colonna ci debba essere un e un solo quadretto nero. Le possibili combinazioni per ciascuna delle 3 righe sono ancora 3: ABB, BAB e BBA, ma nella seconda riga non potremo usare la stessa combinazione della prima riga e nella terza riga analogamente potremo usare una sola delle 3 combinazioni, Ne consegue che il numero dei possibili 'patterns' è 3 x 2 x 1 = 3! = 6.

Nella figura che segue sono elencati i 27 patterns possibili per un elemento 3x3 con un solo quadretto nero per riga. I 6 evidenziati in rosso sono quelli che soddisfano anche il criterio di un solo quadretto nero per colonna.

L'elemento 3x3 con le regole più restrittive imposte è quello tipico dell'armatura saia 2|1. Tale armatura ha quindi 6 possibili patterns. Vedremo a breve in effetti producono solo 2 motivi originali: una diagonale a destra e una diagonale a sinistra.

Potremmo chiamare tali patterns saia 2|1 S e saia 2|1 Z, in quanto il quadratino nero disegna appunto una diagonale a S e a Z rispettivamente.

A questo punto si rende necessario un piccolo ripasso del calcolo combinatorio.

Consideriamo un elemento di nx1 quadretti. Consideriamo inoltre 2 colori A e B; i due colori saranno il bianco e il nero quando ci riferiamo allo schema della messa in tavola.

Quante sono le possibili combinazioni degli n quadretti, ammettendo tutte le combinazioni, comprese le ripetizioni?

La risposta è riportata nella figura, nella seconda colonna. Con due colori (k=2) si va da 2 a 32 per numero n di quadretti che va da 1 a 5.

Quante di tali combinazioni presentano un solo quadretto nero (a=1)? Quante di tali combinazioni presentano invece due quadretti neri (a=2)? Le risposte, che sono le possibili permutazioni con ripetizione, sono riportate nelle altre colonne della tabella.

Prendiamo ad esempio un elemento di 4 quadretti, di 2 colori. Le possibili combinazioni sono 16: 4 con un solo quadretto nero, 6 con die quadretti neri, 4 con tre quadretti neri e 2 in 'tinta unita' (bianco e nero).

Quante sono infine le possibili combinazioni se invece di elementi di n quadretti di una riga, consideriamo elementi n x n, cioè di n righe e di n colonne?

Nel caso di un elemento 4 x 4 (n=4), ancora per due colori A e B (k=2), se per ciascuna riga e ciascuna colonna ammettessimo tutte le possibili combinazioni di colore, avremmo 16 x 16 x 16 x 16= 65536 (!!!) possibili ‘patterns’ per l'elemento.

Restringendo la regola, stabilendo che per ciascuna riga ci debba essere un e un solo quadretto nero (cioè, a=1), le possibili combinazioni per ciascuna delle 4 righe sono 4: ABBB, BABB, BBAB e BBBA. Ne consegue che i possibili 'patterns’ per l'elemento sono 'solo’ 4 x 4 x 4 x 4 = 256.

Imponiamo infine la regola che anche per ciascuna colonna ci debba essere un e un solo quadretto nero. Le possibili combinazioni per ciascuna delle 4 righe sono ancora 4 (ABBB, BABB BBAB e BBBA), ma nella seconda riga non potremo usare la stessa combinazione della prima riga, nella terza riga analogamente potremo usare solo due delle 4 combinazioni, mentre nella quarta riga potremo usare solo una delle combinazioni. Ne consegue che il numero dei possibili 'patterns’ è 4 x 3 x 2 x 1 = 4! = 24.