Un estudiante aconseja:
Siempre que el intervalo de integración sea simétrico, verificar que el integrando es impar o par antes de siquiera plantear la solución de la integral.
Si es par, la integral dobla su valor evaluada en medio intervalo.
Si es impar, la integral devuelve cero.
Recordemos que se prueba "paridad" así:
Si f=f(x) y f(-x)=-f(x), entonces la integral es impar. Es decir, si cambias todas las x por -x, pero te da que puedes factorizar -1 de cada término y encontrar la misma función multiplicada por -1, entonces tú función es impar.
Si f(-x)=f(x) entonces es par. Es decir, si cambias x por -x, y el -1 por alguna razón no aparece, entonces la función es par.
Ejemplos:
•f(x)=sin(x) es impar. Verifícalo con sin(-π/2) y sin(π/2). Para demostrarlo, en el sentido estricto, tal vez quieras expandir sin(x) en una serie de McLaurin y luego hacer la sustitución de x por -x.
•f(x)=x² es par. Porque (-x)² da x² otra vez.
Multiplicar una función impar por otra impar, da una función par. Multiplicar dos funciones par, da otra par. Pero, par por impar devuelve impar. Así, si integras un producto de funciones par-impar sobre un intervalo simétrico, sabrás que dicha integral dará cero.
Cuándo es útil esto? En electromagnetismo las integrales dobles y triples son el pan de cada día. Y no quieres darte cuenta que en una de las variables la función era impar en un intervalo simétrico, y por tanto nula, sólo después de haber calculado su integral en las otras 2 variables. Pudiste haber hecho la integral igual a cero desde el principio.
En mecánica cuántica el cálculo de valores esperados y probabilidad de encontrar una partícula en cierta región involucran integración, y a veces aparecen funciones pares e impares.
En análisis de Fourier expresamos una función como una suma infinita de senos y cosenos, donde los coeficientes de la serie de obtienen mediante integración. Estos pueden ser cero bajo condiciones de paridad.
En algunas funciones es un poco más difícil ver si son pares o impares a simple vista, así que el truco de cambiar x por -x puede venir muy ventajoso y ahorrarte resolver una integral por sustitución simple seguida de una sustitución trigonométrica o aplicar fracciones parciales o integración por partes (la que sabemos muy bien puede volverse especialmente larga).
Espero que este pequeño consejo te sirva. Hasta la próxima!
