Princípio Fundamental da Contagem
No dia-a-dia estamos interessados em contar o número de maneiras que um experimento ou experiência pode ser realizado.
De quantas maneiras podemos organizar uma fila com 4 pessoas?
Quantas senhas com 3 dígitos podemos formar usando os dígitos ímpares do sistema decimal?
De quantas maneiras podemos entrar e sair de um estádio de futebol que possui 5 portões?
De quantas maneiras diferentes podemos pintar uma bandeira de 3 listras, usando as cores amarela ou verde?
Uma maneira simples de obter o total de possibilidades de um experimento acontecer é descrever todas as opções possíveis e fazer a contagem direta. Entretanto, isso nem sempre é viável porque o número de possibilidades pode ser tão grande que se torna impraticável a contagem direta dos resultados.
De quantas maneiras diferentes um candidato pode “chutar” todas as questões de um teste com 10 questões do tipo V ou F?
Um estádio de futebol possui 6 portões. De quantas maneiras distintas uma pessoa pode entrar no estádio e sair dele por um portão diferente do que usou para entrar?
Para essas situações, usamos o princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo, que é um método algébrico para determinar o número total de possibilidades.
Este método consiste em multiplicar o número de possibilidades de cada etapa do experimento. Para entendermos melhor, vamos analisar a situação a seguir:
Exemplo 1: Na imagem abaixo, temos uma chave de um cofre que você vai dizer qual a combinação dele para poder abrir.
Sabemos então que o cofre tem três dígitos e cada um deles pode ser preenchido com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Quantas possibilidades de combinações possíveis podemos utilizar nesse cofre?
Solução: Vamos pensar o seguinte: se eu puder repetir os algarismos em qualquer posição, significa que tenho 10 algarismos para cada espaço. Logo, pelo princípio multiplicativo (ou princípio fundamental da contagem), o número de possibilidades seria:
Teríamos 1.000 (mil) possibilidades certo?!
E se eu não pudesse repetir os algarismos? Como ficaria?
Se eu escolher o algarismo 5 para ser o primeiro, não poderia mais usar ele. Significa que no próximo espaço eu poderia usar os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 e 9. Isso dá um total de 9 algarismos. Se eu escolher o algarismo 2 para o segundo espaço, também não poderia mais usá-lo. Assim, para o último espaço, eu não poderia mais utilizar nem o algarismo 5 e nem o 2. Agora só me restam 8 algarismos pra usar. Dessa forma, o número de possibilidades seria
10 x 9 x 8 = 720 possibilidades.
Exemplo 2: Em um restaurante, é oferecido o famoso prato feito. Todos os pratos possuem arroz, e o cliente pode escolher uma combinação entre 3 possibilidades de carne (bovina, de frango e vegetariana), 2 tipos de feijão (caldo ou tropeiro) e 2 tipos de bebida (suco ou refrigerante). De quantas maneiras distintas um cliente pode fazer o pedido?
Pra facilitar o entendimento, podemos montar a árvore de possibilidades. Ficaria assim:
Note que há 12 possibilidades de escolha, mas era possível chegar a esse número realizando a simples multiplicação das possibilidades por meio do princípio fundamental da contagem, logo o número de combinações de pratos possíveis poderia ser calculado por:
Perceba que, quando meu interesse é saber somente o total de possibilidades, realizar a multiplicação é muito mais rápido do que construir qualquer esquema para analisar, o que pode ser bastante trabalhoso, caso haja mais e mais possibilidades.
Espero ter ajudado! Vamos pra nossa atividade?!
