Mars Crater

Queremos saber que tanto influye la localización de un cráter en Marte dependiendo de su profundidad.

Nuestra variable de respuesta es la latitud, la cual es norte=1 y sur=0, nuestra variable explicativa es la profundidad la cual también es binaria. El código es el siguiente:

La salida fue la siguiente:

La variable de respuesta es el diámetro, las variables explicativas son la latitud y la profundidad de los cráteres.

Queremos saber si la latitud es un factor de confusión.

El código es el siguiente:

La salida del código:

a) gráfico q-q

b) residuos estandarizados para todas las observaciones

La variable de respuesta es el diámetro de los cráteres de marte y la variable explicativa es la profundidad de éstos. Se hará regresión lineal para saber la relación entre estas variables.

El código en python es el siguiente:

La salida:

Los resultados del modelo de regresión lineal indicaron que el diámetro (p=0,000) se asociaba significativa y positivamente con la profundidad.

El terreno lleno de cráteres en Marte se creó hace entre 4,2 y 3,8 mil millones de años durante el período de "fuerte bombardeo" (es decir, impactos de asteroides, protoplanetas y cometas). Desde entonces, la superficie de Marte no ha sufrido grandes modificaciones. Las superficies de cuerpos sin aire como Marte, que no han sido modificadas posteriormente por el vulcanismo, están saturadas de cráteres.

Los cráteres aparecen en toda la superficie de Marte y son vitales para comprender sus propiedades de la corteza, así como las edades de la superficie y los eventos de modificación. Permiten hacer inferencias sobre la historia hidrológica y climática antigua y añaden un punto de datos clave para la comprensión de la física del impacto. Este estudio, creado por Stuart Robbins, presenta una nueva base de datos global para Marte que contiene 378.540 cráteres estadísticamente completos para diámetros D≥1 km.

El conjunto de datos con el que trabajamos contiene muestras de cráteres de Marte, el cual se generó de manera observacional. Se describen algunas características como

*id: ID del cráter para demanda interna, basado en la región del planeta.

*latitud: latitud desde el centro derivado de un círculo de mínimos cuadrados no lineal ajustado a los vértices seleccionados para identificar manualmente el borde del cráter (las unidades son grados decimales Norte).

*longitud: longitud desde el centro derivado de un círculo de mínimos cuadrados no lineal ajustado a los vértices seleccionados para identificar manualmente el borde del cráter (las unidades son grados decimales Este).

*diámetro: diámetro de un círculo de mínimos cuadrados no lineal ajustado a los vértices seleccionados para identificar manualmente el borde del cráter (las unidades son km).

*profundidad: elevación promedio de cada uno de los N puntos determinados manualmente a lo largo (o dentro) del borde del cráter (las unidades son km).

*morfología1: Morfología eyectada clasificada.

*morfología2: la morfología de la(s) capa(s) misma(s).

*morfología3: textura general y/o forma de algunas de las capas/ejectas que son generalmente únicas y merecen una clasificación morfológica separada.

*número de capas: el número máximo de capas cohesivas en cualquier dirección azimutal que podrían identificarse de manera confiable.

La pregunta de partida es: ¿qué relación tiene el diámetro de un cráter con su profundidad?

Donde la variable de respuesta es el diámetro y la variable explicativa es la profundidad.

Mi hipótesis es que depende mucho del impacto que ocasionó la formación del cráter.

Según la bibliografía, para obtener una variedad de cráteres, se debe considerar la velocidad del proyectil, el ángulo de choque y la estructura tanto del proyectil como de la superficie.

Caracteristicas-de-los-crateres-de-impacto-Crateres-simples.pdf (researchgate.net)

about.sjrdesign.net/files/thesis/RobbinsThesis_LargeMB.pdf

Se realizó un análisis de conglomerados k-means para identificar subgrupos de cráteres en marte en función de su similitud de respuestas en 4 variables que representan características que podrían tener un impacto en el diámetro de los cráteres. Todas las variables de agrupación se estandarizaron para que tuvieran una media de 0 y una desviación estándar de 1.

Los datos se dividieron aleatoriamente en un conjunto de entrenamiento que incluía el 70% de las observaciones y un conjunto de prueba que incluía el 30% de las observaciones. Se realizó una serie de análisis de conglomerados k-means en los datos de entrenamiento especificando k=1-9 conglomerados, utilizando la distancia euclídea.

El código es el siguiente:

La varianza en las variables de agrupación que se explicaba por los conglomerados (r-cuadrado) se trazó para cada una de las nueve soluciones de conglomerados en una curva acodada para proporcionar orientación a la hora de elegir el número de conglomerados a interpretar.

La curva en codo no fue concluyente, lo que sugiere que podrían interpretarse las soluciones de 2, 4 y 6 conglomerados. Los resultados que se muestran a continuación corresponden a una interpretación de la solución de 4 conglomerados. Se utilizó el análisis discriminante canónico para reducir las 4 variables de agrupación a unas pocas variables que explicaran la mayor parte de la varianza en las variables de agrupación.

Conglomerado 0 - morado Conglomerado 1 - azul Conglomerado 2- amarillo Conglomerado 3 - verde

Gráfico de las dos primeras variables canónicas para las variables de agrupación por conglomerados:

Este diagrama indicó que las observaciones de los conglomerados 0 y 1 estaban densamente agrupadas con una varianza dentro del conglomerado relativamente baja. En el conglomerado 2 las observaciones tenían una mayor dispersión, lo que sugería una mayor varianza dentro del conglomerado y se solapaban con el conglomerado 3, el cual también se encontraba disperso.

Las medias de las variables de agrupación mostraron que, en comparación con los demás grupos, los cráteres del conglomerado 0 tenían una probabilidad relativamente baja de ser profundos, al igual que el conglomerado 1 en el que además podemos ver que los cráteres se ubican en la parte oeste de marte. En el conglomerado 2 se ubican los cráteres profundos y el conglomerado 3 tiene cráteres profundos y presentan capas.

Se realiza un análisis de regresión LASSO para identificar un subconjunto de variables de un conjunto de 4 variables predictoras (longitud, latitud, profundidad, numero de capas) cuantitativas y categóricas que predijeran mejor una variable de respuesta cuantitativa que mide el diámetro de los cráteres de marte. Todas las variables predictoras se estandarizaron para que tuvieran una media de cero y una desviación estándar de uno.

El código es el siguiente:

Los resultados:

Los datos se dividieron aleatoriamente en un conjunto de entrenamiento que incluía el 70% de las observaciones y un conjunto de prueba que incluía el 30% de las observaciones. Se utilizó el algoritmo de regresión de ángulo mínimo con validación cruzada de k=10 pliegues para estimar el modelo de regresión de lazo en el conjunto de entrenamiento, y el modelo se validó utilizando el conjunto de prueba. El cambio en el error cuadrático medio de la validación cruzada en cada paso se utilizó para identificar el mejor subconjunto de variables predictoras.

La gráfica del cambio en el error cuadrático medio de validación en cada paso:

Se realizó un análisis de bosque aleatorio para evaluar la importancia de una serie de variables explicativas en la predicción de una variable de respuesta binaria y categórica.

Se clasifican los cráteres de marte según su zona (latitud), que es nuestra variable de respuesta, con base en el diámetro y profundidad, las variables explicativas.

El código es el siguiente:

Los resultados:

Se usa para probar relaciones no lineales entre una serie de variables explicativas y una variable de respuesta binaria y categórica.

Se clasifican los cráteres de marte según su zona (latitud), que es nuestra variable de respuesta, con base en el diámetro y profundidad, las variables explicativas.

El código es el siguiente:

Los resultados:

De la matriz anterior podemos ver los resultados de la clasificación: *Verdaderos positivos: 48,696 *Verdaderos negativos: 65,558 *Falsos positivos: 28,035 *Falsos negativos: 11,449

Se clasificó con una precisión del 74.3% (según lo visto en los resultados).

y obtenemos el siguiente árbol de decisión:

El primer nodo empieza a clasificar con la variable x[1]=profundidad del cráter. Si este es menor que 1.5 (las variables son '1' y '2') ahora tenemos 115,441 muestras. Ahora tomando la variable x[0]=diámetro del cráter (la cual tiene las variables '1', '2', '3' y '4')

Si x[0]<=1.5 ahora tenemos 34,318 muestras. De aquí que los cráteres que tienen un diámetro pequeño de los que tienen poca profundidad: 12,148 están ubicados en el norte y 22,170 están ubicados en el sur.

Si x[0]>1.5 ahora tenemos 81,123 muestras. De aquí que los cráteres que tienen un diámetro mayor de los que tienen poca profundidad: 29,725 están ubicados en el norte y 51,398 están ubicados en el sur.

A veces la relación entre dos variables no es del todo cierta, existen valores ocultos, lo que puede modificar la relación entre dos variables.

Vamos a comprobar si la ubicación de los cráteres de marte respecto a la latitud afecta la relación del diámetro y la profundidad de dichos cráteres.

Vamos a convertir la latitud en una variable categórica, clasificando en zonas: a) zona meridional, b) zona intermedia y c) zona polar.

El código se puede ver aqui:

Los resultados fueron los siguientes:

Las gráficas:

Esta prueba se realiza para conocer la relación entre dos variables cuantitativas, en este caso, se utilizará para averiguar si el diámetro de los cráteres de marte está relacionado con la profundidad de los mismos.

*La relación viene dada por r que toma valores entre [-1,1], donde:

a) r=-1 indica una correlación lineal negativa fuerte

b) r=0 indica que no existe correlación lineal

c) r=1 indica una correlación lineal positiva fuerte

*El código en python lo pueden encontrar en: mars.py

*El resultado fue el siguiente:

De lo anterior obtenemos que el valor r=0.58, por lo que las variables tienen una correlación lineal positiva (es decir, a mayor diámetro, mayor profundidad) sin embargo, la relación no es muy fuerte. El valor p = 0.0 < 0.05.

El valor r^2=0.3364, este valor nos indica que, si conocemos el diámetro de los cráteres de marte, podemos predecir el 33% de la variabilidad de la profundidad.

*La gráfica generada:

Esta prueba se realiza cuando las dos variables (explicativa y de respuesta) son categóricas. En este caso las dos son numéricas, sin embargo, se convierten a categóricas haciendo una clasificación por cuartiles en ambas.

Variable explicativa: diámetro, variable de respuesta: profundidad.

Nuestras hipótesis (Ho-hipótesis nula y Ha-hipótesis alternativa) son las siguientes:

Ho = la clasificación por cuartiles del diámetro y la profundidad son independientes.

Ha = no son independientes.

El código se puede encontrar aquí: mars.py

Los resultados son:

La prueba ANOVA se realiza cuando nuestra variable explicativa es categórica y la variable de respuesta es cuantitativa. En este caso, ambas variables son cuantitativas, por lo que categorizamos la variable explicativa para poder realizar la prueba ANOVA.

¿Existe relación entre el diámetro de los cráteres de marte clasificados por cuartiles y la profundidad de los mismos?

Nuestras hipótesis (Ho-hipótesis nula y Ha-hipótesis alternativa) son las siguientes:

Ho = no están relacionados (medias iguales)

Ha = existe tienen relación (medias diferentes)

El código lo pueden encontrar aquí: mars.py

Los resultados:

como hay más de una variable, se realiza una prueba pos hoc, los resultados fueron los siguientes:

El script de python está en: mars.py

**Los datos de media, mediana, moda, dispersión, etc.

describe el diametro de los crateres de marte count 384343.000000 mean 3.556686 std 8.591993 min 1.000000 25% 1.180000 50% 1.530000 75% 2.550000 max 1164.220000 Name: DIAM_CIRCLE_IMAGE, dtype: float64

describe la profundidad de los crateres de marte count 384343.000000 mean 0.075838 std 0.221518 min -0.420000 25% 0.000000 50% 0.000000 75% 0.000000 max 4.950000 Name: DEPTH_RIMFLOOR_TOPOG, dtype: float64

**Las gráficas univariables:

**La gráfica bivariable:

Siguiendo con las tablas de frecuencia, en este caso no tenemos datos faltantes, lo que si podemos hacer, es agrupar los datos en 4 categorías de acuerdo a los percentiles.

*El código se encuentra en: mars.py

*La salida del código es la siguiente:

Numero de datos: 384343 Numero de variables: 10

DIAMETRO, DIAM_CIRCLE_IMAGE 82.10 1 82.02 1 79.63 1

PORCENTAJE DIAMETRO, DIAM_CIRCLE_IMAGE 82.10 0.000003 82.02 0.000003 79.63 0.000003

PROFUNDIDAD, DEPTH_RIMFLOOR_TOPOG 0.22 1189 1.97 20 0.09 2008

PORCENTAJE PROFUNDIDAD, DEPTH_RIMFLOOR_TOPOG 0.22 0.003094 1.97 0.000052 0.09 0.005224

diam - 4 categories - quartiles GRUPOS, DIAM4 1=25% 96308 2=50% 97609 3=75% 94359 4=100% 96067 Name: count, dtype: int64

Se realizaron las tablas de frecuencia para los datos de diámetro y profundidad de los cráteres en marte, podemos notar que la mayoría de los cráteres son diferentes, es decir, tienen diferentes diámetros, muy pocos se repiten. En cambio, en la profundidad si se repiten los datos y también hay algunos que son únicos.

Los datos son los siguientes (solo se incluyen las primeras 3 variables):

Numero de datos: 384343 Numero de variables: 10

DIAMETRO, DIAM_CIRCLE_IMAGE 82.10 1 82.02 1 79.63 1 Name: count, Length: 6240, dtype: int64

PORCENTAJE DIAMETRO, DIAM_CIRCLE_IMAGE 82.10 0.000003 82.02 0.000003 79.63 0.000003 Name: proportion, Length: 6240, dtype: float64

PROFUNDIDAD, DEPTH_RIMFLOOR_TOPOG 0.22 1189 1.97 20 0.09 2008 Name: count, Length: 296, dtype: int64

PORCENTAJE PROFUNDIDAD, DEPTH_RIMFLOOR_TOPOG 0.22 0.003094 1.97 0.000052 0.09 0.005224 Name: proportion, Length: 296, dtype: float64

El conjunto de datos con el que me gustaría empezar a trabajar es con el diámetro de los cráteres de marte, me gustaría conocer si tiene relación con la profundidad de los mismos.

La pregunta de partida es: ¿qué relacion tiene el diámetro de un cráter con su profundidad?

Mi hipótesis es que depende mucho del impacto que ocasionó la formación del cráter.

Según la bibliografía, para obtener una variedad de cráteres, se debe considerar la velocidad del proyectil, el ángulo de choque y la estructura tanto del proyectil como de la superficie.

Fuentes:

Caracteristicas-de-los-crateres-de-impacto-Crateres-simples.pdf (researchgate.net)