Community of Physics

 প্রশ্ন হচ্ছে- গোলকীয় দর্পণে এমন ফোকাস বিন্দুগামী প্রতিফলন আমরা কেন দেখি? এটা কি যেকোন বক্র দর্পণের জন্য হবে? নাকি এটা কি গোলকের জ্যামিতির সাথে সম্পৃক্ত? এই লেখায় আমরা দেখব, এই বৈশিষ্ট্যটি গোলকের সাথে নয়, বরং ভিন্ন একটি জ্যামিতিক আকৃতির সাথে সম্পৃক্ত।

আচ্ছা, মনে কর এমন ধরনের বক্র দর্পণ আছে, যার জন্য এই বৈশিষ্ট্যটি  সত্য। অর্থাৎ এই দর্পণের উপর (অক্ষের) সমান্তরাল রশ্মি প্রতিফলিত হয়ে কোন এক নির্দিষ্ট বিন্দু (ফোকাস) দিয়েই যায়।এই বক্র দর্পণটি গোলাকৃতির হতেও পারে, নাও হতে পারে। সহজভাবে ভাবতে নিচের ছবিটির মত একটি দ্বিমাত্রিক দর্পণ চিন্তা কর। 

এটার কোন এক মধ্য বিন্দু দিয়ে একটি রেখা কল্পনা করা যায় যেটি দর্পণটিকে প্রতিসম দুটি অংশে ভাগ করে। এই রেখাটিকে বলে প্রধান অক্ষ। তুমি জিজ্ঞেস করতে পার, কেন দুই অংশকে প্রতিসম হতে হবে? যদি এটা প্রতিসম না হত, একপাশের সমান্তরাল রশ্মি একটি ফোকাস দিয়ে, অন্য পাশের সমান্তরাল রশ্মি আরেকটি ফোকাস দিয়ে যাবে। কিন্তু আমরা নিয়েছিই এমন একটি দর্পণ যেটি প্রতিফলিত করে একটি বিন্দু দিয়ে পাঠাবে, দুটি বিন্দু না। দর্পণের উভয় অংশ প্রতিসম হলে তারা একইভাবে প্রতিফলিত করবে যাতে প্রতিফলিত রশ্মিগুলো একই বিন্দু দিয়ে যায়।

দ্বিমাত্রিক দর্পণের সমীকরণ যদি হয় $y=y(x)$, প্রতিসমতার কারণে লিখতে পারি, $y(-x)=y(x)$ । এখানে প্রতিসম রেখা (অক্ষ), $y=0$ । ধর অক্ষের সমান্তরালের একটি রশ্মি $P(x,y)$ বিন্দুতে $\theta$ কোণে আপতিত হয়। দর্পণে প্রতিফলিত হয়ে এরপর রশ্মিটি প্রধান অক্ষের $F$ বিন্দু দিয়ে যায়। এক্ষেত্রে প্রতিসম রেখাটি $Y$ অক্ষ। সুতরাং $F$ বিন্দুটির স্থানাংক হবে $(0,f)$ । $f$ এর মান আমরা জ্যামিতি থেকে বের করতে পারব। এখানে, আপতন ও প্রতিফলন কোণ $\theta$ । যেহেতু আপতিত রশ্মি ও অক্ষ পরস্পর সমান্তরাল, $\angle PFQ= \theta + \theta =2\theta$ । ছবি থেকে,

$$f=OF=OQ+QF=y+QP\cot{2\theta}=y+x \frac{1-\tan^2{\theta}}{2\tan{\theta}}$$

 আবার $P(x,y)$ বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল হবে $ \tan{\theta} $ । ঢালকে দিয়ে $\frac{dy}{dx}$ প্রকাশ করলে সমীকরণটি দাঁড়ায়,

$$f=y+x \frac{1-(\frac{dy}{dx})^2}{2\frac{dy}{dx}}$$

এটি একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। এখন আমরা শুরুতেই ধরে নিয়েছি, এই দর্পণটি সব সমান্তরাল রশ্মিকে একই বিন্দু (ফোকাস!) দিয়ে প্রতিফলিত করবে। তার মানে বিন্দুটির স্থানাঙ্ক সকল সমান্তরাল রশ্মির জন্যই একই হবে। এক্ষেত্রে উপরের সমীকরণটির বামপাশ $(f)$ ধ্রুব হবে। উপরের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সমাধান করে আমরা এই বিশেষ বক্ররেখাটির (দর্পণের) সমীকরণটি পাব। আমরা এখানে সমাধানটির ধাপগুলো করে দেখাব না, সমাধানটি হচ্ছে,, $y(x)=\frac{x^2}{4f}$ । আগ্রহীরা পুরো সমাধানের জন্য (২) নং রেফারেন্স পড়তে পার। সমাধানটি সমীকরণে বসিয়ে দেখতে পার যে এটি সঠিকঃ

$$RHS= y+x \frac{1-(\frac{dy}{dx})^2}{2\frac{dy}{dx}}$$

$$= \frac{x^2}{4f}+x \frac{1-(\frac{x}{2f})^2}{2\frac{x}{2f}}$$

$$=\frac{\frac{x^3}{4f^2}+x-\frac{x^3}{4f^2}}{\frac{x}{f}}$$

$$=f=LHS$$

আমরা এখনো পর্যন্ত কি করলাম সারসংক্ষেপে দেখে আসি। একটি দ্বিমাত্রিক দর্পণে প্রধান অক্ষের সমান্তরাল আলোকরশ্মি প্রতিফলিত হয়ে কোন পথে যাবে তার সমীকরণ ফার্মার তত্ত্ব (=প্রতিফলনের সূত্র) অনুযায়ী বের করেছি। সেই পথ যদি কোন নির্দিষ্ট ফোকাস বিন্দু দিয়ে যায়, তার সমীকরণটি কেমন হবে সেটা পেয়েছি এবং দেখলাম যে তার সমাধান হল $y(x)=\frac{x^2}{4f}$ ।

অর্থাৎ অক্ষের সমান্তরাল রশ্মি $y=\frac{x^2}{4f}$ আকারের দর্পণে প্রতিফলিত হয়ে অক্ষ রেখার উপর একই বিন্দু $(F)$ দিয়ে যায়। ঠিক এই জিনিসটাই আমরা গোলকীয় দর্পণের প্রতিফলনের নিয়ম হিসেবে পড়েছিলাম। কিন্তু দেখা যাচ্ছে, দর্পণের সমীকরণ কোন বৃত্তের (দ্বিমাত্রিক গোলকীয়) সমীকরণ নয়, বরং একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ। অর্থাৎ এই বৈশিষ্ট্যটি পরাবৃত্তের সাথে সম্পর্কিত। এটি পরাবৃত্তীয় তলের নিজস্ব বৈশিষ্ট্য। 

কোন পরাবৃত্তীয় তলের উপর সমান্তরাল রশ্মি পড়লে সেগুলো প্রতিফলিত হয়ে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যাবে। সেই বিন্দুটিকেই আমরা বলি ফোকাস। উপরের ছবিতে এটাই দেখানো হয়েছে। লাল রঙের রশ্মিগুলো পরাবৃত্তীয় তলে প্রতিফলিত হয়ে ফিরে যাবার সময় একটি ফোকাস বিন্দু হয়ে যায়।

বৃত্ত ও পরাবৃত্ত জ্যামিতিকভাবে দুটি ভিন্ন ধারণা। পরাবৃত্তীয় দর্পণের ‘বৈশিষ্ট্য’ কিভাবে গোলকীয় দর্পণের জন্য খাটবে?

আসলে অক্ষের কাছাকাছি পরাবৃত্তের ক্ষুদ্র অংশটি  approximately একটি বৃত্তচাপ। বিপরীতটিও বলা যায়, বৃত্তের ক্ষুদ্র একটি বৃত্তচাপ পরাবৃত্তের মত। যদি গোলকীয় দর্পণের প্রধান অক্ষের কাছ দিয়ে সমান্তরাল রশ্মি যায়, সেই রশ্মিটি গোলকের ক্ষুদ্র “পরাবৃত্ত” অংশে পড়বে। তখন রশ্মিটি প্রতিফলিত হয়ে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যাবে, যেমনটা পরাবৃত্তীয় দর্পণের ক্ষেত্রে ঘটার কথা। 

নিচে দেখানো হয়েছে গোলকীয় দর্পণে যেকোন সমান্তরাল রশ্মির প্রতিফলন কিরকম হবে।

দেখা যাচ্ছে, $y=0$ রেখার নিকটবর্তী রশ্মিগুলো একই বিন্দু দিয়ে যায়। কিন্তু দূরবর্তী রশ্মিগুলো প্রতিফলিত হয়ে সেই বিন্দু দিয়ে যায় না। আপতিত রশ্মি থেকে যদি প্রধান অক্ষের দূরত্ব তুলনামূলক বেশি হলে রশ্মিটি ক্ষুদ্র পরাবৃত্তীয় অংশে পড়বে না। তখন প্রতিফলিত রশ্মি ফোকাস বিন্দু বাদে অন্য আরেকটি বিন্দু দিয়ে যাবে। গোলকীয় দর্পণের আকার যদি ব্যাসার্ধের তুলনায় খুব ছোট হয়, (যেমনঃ নিচের c চিত্রটি) সে ক্ষেত্রে ফোকাস বিন্দুগামী প্রতিফলন দেখতে পাব। 

তাই গোলকীয় দর্পণের ক্ষেত্রে ফোকাস একটি approximation এর ফলাফল। পরাবৃত্তীয় দর্পণের এই বৈশিষ্ট্যটি বিভিন্ন ক্ষেত্রেই কাজে লাগানো হয়েছে। জ্যোতির্বিজ্ঞানের অনেক এক্সপেরিমেন্টে প্যারাবলিক টেলিস্কোপ ব্যবহার করা হয়েছে। নন-ইনারশিয়াল ফ্রেমের pseudo force সম্পর্কে পড়ে থাকলে হয়ত জানো কোন তরল পদার্থপূর্ণ পাত্রকে সুষম কৌণিক বেগে ঘুরালে পাত্রের উপরে তরলপৃষ্ঠ পরাবৃত্তীয় আকার ধারণ করে। এই ধারণার ভিত্তিতে বিজ্ঞানীরা পারদ দিয়ে লিকুইড মিরর টেলিস্কোপ নির্মাণ করেছেন। এ ধরনের টেলিস্কোপ বানাতে অন্যান্য টেলিস্কোপের তুলনায় খরচ খুবই কম হয়। তবে এটার মূল সীমাবদ্ধতা হল এটাকে অন্যদিকে ঘুরালে এটার আকার আর পরাবৃত্তীয় থাকে না।  

তুমি কি কখনো ভেবে দেখেছ স্যাটেলাইট ডিশের আকৃতি পরাবৃত্তীয় হয় কেন? ভাবো, আর প্রয়োজন হলে গুগল কর!

তথ্য উৎসঃ

১. উইকিপিডিয়া  ২. Class handout, Physics 5B (Winter 2009) at the University of California, Santa Cruz 

-মোঃ সামিউর রহমান মীর

সম্পূর্ণ প্রকৃতির প্রত্যেক টুকরো, বা অংশ, সবসময়ই পূর্ণ বাস্তবতা, বা এর যতটুকু আমরা জানতে পারি— তার একটি আসন্ন রূপ (approximation)। আদতে, যা কিছু আমরা জানি তা একধরণের আসন্ন রূপ, কারণ আমরা জানি যে আমরা সবগুলো নীতি জানি না[1] এখনো। একারণে, এই বিষয়গুলো আত্মস্থ করতে হবে কেবলমাত্র অনাত্মস্থ করার জন্য, বা আরো ভালোভাবে, নির্ভুলতর হওয়ার জন্য।

Image source: Wikipedia

বিজ্ঞানের মূলমন্ত্র, সংজ্ঞানুযায়ী, প্রায় এমন: পরীক্ষণ-ই সকল জ্ঞান পরখ করে। পরীক্ষণ-ই বৈজ্ঞানিক "বাস্তবতা"র একমাত্র বিচারক। কিন্তু এই জ্ঞানের উৎস কি? যে নীতিগুলো পরখ করতে হবে তারা কোথা থেকে আসবে? পরীক্ষণ, নিজেই, এই নীতিগুলো দাঁড় করাতে সহায়তা করে, এই যুক্তিতে যে এরা আমাদের আলামত দেয়। কিন্তু আমাদের কল্পনার-ও দরকার আছে ঐ আলামতগুলোর মস্ত একটা সাধরণীকরণ (generalization) প্রণয়নে— চমৎকার, সহজ, কিন্তু অদ্ভুত একটা ধাঁচ সবগুলোর মাঝে আছে, এবং তারপর পরীক্ষা করে আবার যাচাই  করতে হবে আমরা সঠিক অনুমান করেছি কি না। এই কল্পনা পদ্ধতি এত দুঃসাধ্য যে পদার্থবিজ্ঞানে এর শ্রমবিভাজন আছে: তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানীরা আছেন কল্পনা, প্রতিপাদন, ও অনুমান করে নতুন নীতি প্রস্তাবের জন্য, কিন্তু কোনো পরীক্ষণ না করে; এবং আছেন নিরীক্ষক পদার্থবিজ্ঞানীরা, যারা পরীক্ষণ, কল্পনা, প্রতিপাদন, ও অনুমান করেন।

 আমরা বলেছি যে প্রকৃতির নীতি হল আসন্ন: অর্থাৎ আমরা প্রথমে "ভুল"টা'র সন্ধান পাই, এবং তারপর "সঠিকে"র সন্ধান পাই। এখন, একটা পরীক্ষণ কিভাবে "ভুল" হতে পারে? প্রথমত, মামুলি তরিকায়: যদি যন্ত্রপাতিতে গলদ থাকে, কিন্তু তা আপনার নজরে পড়ল না। কিন্তু এগুলোর সুরাহা সম্ভব, এবং আগ-পিছ করে সামলে ফেলা যায়। এখন এসব গৌণ ত্রুটি বাদ দিলে, একটা পরীক্ষণের ফলাফল কিভাবে ভুল হতে পারে? কেবল যথাযথ না হওয়ার মাধ্যমে। যেমন: কোনো বস্তুর ভর বোধ হচ্ছে কখনোই পরিবর্তন হয় না: ঘুরন্ত লাটিমের ভর যা, স্থির থাকলেও তা। তো, একটা "নীতি" উত্থাপন করা হল: ভর ধ্রুব, গতি যা-ই হোক। কিন্তু এই "নীতি'"র মধ্যে খুঁত পাওয়া গেল। দেখা গেল, বেগের সাথে সাথে ভরও বাড়ন্ত, কিন্তু চোখে পড়ার জন্য ওর বেগের মান আলোর কাছাকাছি হতে হবে। একটা যথার্থ নীতি তাহলে: কোনো বস্তু যদি সেকেন্ডে শ' মাইলের কম গতিতে চলে, তাহলে ভর ধ্রুব দশমিকের পর সাত ঘর অবধি। এরকম একটা আসন্ন রূপে এটা  সঠিক নীতি। তো ব্যবহারিক প্রয়োজনে কেউ মনে করতে পারে ঐ নতুন নীতি এমন কোনো তফাৎ তৈরি করে নি। কিন্তু উচ্চ গতির ক্ষেত্রে আমরা ভ্রান্ত, এবং গতির যত উচ্চ মান, আমরা ততই ভ্রান্তমান।

 পরিশেষে, এবং সবথেকে মজার, এই আসন্নতার নীতি নিয়ে দার্শনিকভাবে আমরা সম্পূর্ণ ভ্রান্ত। যদিও ভরের সামান্যই পরিবর্তন হয়, আমাদের দুনিয়া দেখার দৃষ্টি কিন্তু একেবারেই বদলে যাচ্ছে। নীতির প্রেক্ষাপটের দর্শন, বা ধ্যান-ধারণা নিয়ে এ খুবই কিম্ভুত একটা ব্যাপার। এমন কি সামান্য একটি করণ(effect), কখনো কখনো আমাদের ধ্যান-ধারণার বিরাট একটা পরিবর্তনের কারণ হয়ে দাঁড়ায়।

 এখন, আমাদের সবার আগে কি শেখানো উচিত? আমাদের কি সঠিক কিন্তু অদ্ভুত ও জটিল গোছের অপরিচিত ধ্যান-ধারণা, যেমন আপেক্ষিক তত্ত্ব, চতুর্মাত্রিক স্থান-কাল, ইত্যাদি দিয়ে শুরু করা উচিত? না কি সহজ সরল "ধ্রুব-ভরে"র নীতি দিয়ে, যা একটা আসন্ন রূপ, কিন্তু অত জটিল উপলব্ধির ধর্ণা ধরতে হয়  না? আগের টা অনেক বেশি উস্কে দেয়, অনেক অপরূপ, এবং রসে ভরপুর, কিন্তু পরেরটা শুরুতে সহজ, এবং আগেরটার সত্যিকারের উপলব্ধি তৈরির প্রথম পদক্ষেপ। পদার্থবিজ্ঞানের শিক্ষকতায় এই বিষয়টি বার বার হাজির হয়। একেক সময়ে বিষয়টাকে একেকভাবে সমাধা করতে হবে, কিন্তু প্রত্যেক ধাপেই এটা জানা খুবই জরুরী যে এখন কি জানা আছে, কতখানি সঠিক এটা, আর সবকিছুর সাথে এটা কিভাবে যায়, এবং যখন আমরা আরো জানতে পারব তখন এটা কিভাবে বদলাতে পারে।

[1]ফাইনম্যান, প্লাতোনে'র লেখা "সক্রাতেসের সাফাই" বইয়ে সক্রাতেসে'র "I know that I know nothing" উক্তিকে ইঙ্গিত করছেন।

অনুবাদকঃ শেখ ইসমাইল হোসেন 

আমরা জানি, যেকোন ঘটনায় শক্তি ও আপেক্ষিক ভরবেগ (relativistic momentum) সংরক্ষিত থাকবে। তার মানে বিটা ডিকের আগে ও পরে মোট শক্তি ও আপেক্ষিক ভরবেগ একই থাকবে। তেজস্ক্রিয় নিউক্লিয়াসটির রেস্ট ফ্রেমে (rest frame) এই সংরক্ষণশীলতার সূত্র দুটি কিরকম হবে দেখা যাক। নিজের রেস্ট ফ্রেমে নিউক্লিয়াসটি স্থির থাকে। নিউক্লিয়াসটির ভর M হলে তার শক্তি ও ভরবেগ হবে,

ভরবেগ সংরক্ষণ করতে ডিকের পর ইলেকট্রন ও নতুন নিউক্লিয়াস বিপরীত দিকে ছুটে যাবে। নিউক্লিয়াস সাধারণত ইলেকট্রনের তুলনায় অনেক ভারী হয়, তাই ইলেকট্রনের তুলনায় তার বেগ খুব কম হয় তবে ভরবেগের মান সমান হবে। ধরা যাক, ইলেকট্রনটির আপেক্ষিক ভরবেগ p, তাহলে নতুন নিউক্লিয়াসটির ভরবেগ হবে –p। নিউক্লিয়াসটির ভর M’ হলে তার শক্তি হবে,

অন্যদিকে, ইলেকট্রনের শক্তি,

শক্তি যেহেতু সংরক্ষিত থাকবে, তাই নতুন নিউক্লিয়াস ও ইলেকট্রনের মোট শক্তি আসবে তেজস্ক্রিয় নিউক্লিয়াসের স্থিতশক্তি (rest energy) থেকে।

এই পর্যায়ে তুমি ভাবতে পার, এই সরল, নিরীহ ক্যালকুলেশনে নিউট্রিনো আসছে কি করে? দেখা যাক। আমাদের শেষ সমীকরণ বলে, আপেক্ষিক ভরবেগ p একটি ধ্রুব সংখ্যা। তুমি যদি নিউক্লিয়াসের ডিকের আগের ও পরের ভর জানো,ইলেক্ট্রনটি কি ভরবেগে বের হবে সেটা খাতা-কলমে কষেই এক সংখ্যায় বলে দিতে পার। সমস্যাটা বাঁধল এক্সপেরিমেন্টে!

উপরের গ্রাফটি আসল বিটা ডিকে এক্সপেরিমেন্টের ডেটার একটি অনুরূপ চিত্র দেয়। দেখতেই পারছ, বিভিন্ন গতিশক্তির ইলেকট্রন (বিটা পার্টিকেল) ডেটায় ধরা পড়েছে। অর্থাৎ ইলেকট্রনগুলো বিভিন্ন ভরবেগে বের হচ্ছে। কিন্তু আমরা ক্যালকুলেশন থেকে দেখছি, ইলেকট্রনের ভরবেগ p এর একটি নির্দিষ্ট মান থাকবে। আবার এই গতিশক্তি মোট যতটুকু শক্তি ইলেকট্রনের পাওয়ার কথা ছিল, তার চেয়ে কম। যেন বাকি শক্তি কেউ চুরি করে ফেলেছে!

১৯৩০ সালের দিকে ওলফগ্যাং পাউলি এই সমস্যার একটা সমাধান দেন। তিনি বলেন, বিটা ডিকের ঘটনায় একটি ইলেকট্রন নয়, ইলেকট্রনের সাথে নিশ্চয়ই আরেকটি চার্জহীন কণা নিউক্লিয়াস থেকে বের হয়ে আসে। যেটুকু শক্তি (p) ইলেকট্রনের পাওয়ার কথা ছিল, সেটা ইলেকট্রন ও অপর কণাটির মধ্যে ভাগ হয়। গ্রাফের বাকি নিখোঁজ শক্তিটুকু অন্য কণাটির “চুরি” (!) করে ফেলায় ইলেকট্রনের বিভিন্ন গতিশক্তি দেখা যায় যা ডিকেতে মুক্ত শক্তির চেয়ে কম। এই নতুন কণাকে হিসাবে ধরে সংরক্ষণশীলতার সূত্রগুলো ব্যবহার করলে দেখা যায় তাত্ত্বিক ফলাফল এক্সপেরিমেন্টের সাথে মিলছে। এনরিকো ফার্মি কণাটির নাম দেন নিউট্রিনো (neutrino)।

বিটা ডিকেতে যে সবসময় ইলেকট্রন বের হয়, এমনটা নয়। কিছু নিউক্লিয়াস থেকে একই ভাবে পজিট্রন (ইলেকট্রনের প্রতিকণা) বের হয়। এই দুটোকে যথাক্রমে নেগেটিভ ও পজিটিভ বিটা ডিকে বলে। যে সময়ে পাউলি নিউট্রিনোর ধারণা দিয়েছিল, তার দু’বছর পর নিউক্লিয়াসের মধ্যে চার্জহীন নিউট্রন আবিষ্কার হয়। চার্জের সমতা ঠিক রেখে নিউট্রনের ক্ষেত্রে ইলেকট্রন ও এন্টি-নিউট্রিনো (anti-neutrino, নিউট্রিনোর প্রতিকণা) এবং প্রোটনের ক্ষেত্রে পজিট্রন ও নিউট্রিনো পাওয়া যায়। বিটা ডিকের সমীকরণ দুটি দাড়ায়ঃ

তাত্ত্বিকভাবে মিললেও সরাসরি কোন এক্সপেরিমেন্টে নিউট্রিনোর প্রমাণ চাই, নতুবা এটা সার্বিকভাবে গ্রহণীয় হয়ে উঠে না। নিউট্রিনো খোঁজার যজ্ঞটা ছিল বেশ কঠিন। নিউট্রিনোর কোন চার্জ নেই, তাই এটাকে অন্যান্য চার্জড কণার চুম্বক ক্ষেত্রে বিক্ষিপ্ত করা যায় না। আবার নিউট্রিনো পদার্থের সাথে কোন প্রকার ক্রিয়া করে না বললেই চলে। সূর্য থেকে বিলিয়ন বিলিয়ন নিউট্রিনো প্রতি সেকেন্ডে পৃথিবীর মধ্য দিয়ে চলে যায় কোন মিথস্ক্রিয়া না করেই। যেমনটা বলেছিল মাইকেল কামাকানা, “A billion neutrinos go swimming in heavy water: one gets wet”! এতকিছু সত্ত্বেও ১৯৫৬ সালে ক্লাইড কোওয়েন ও ফ্রেডেরিক রেইনস প্রথমবারের মত এই নিউট্রিনোকে খুঁজে পান! কিভাবে?

আমরা দেখেছি, একটি প্রোটন একটি নিউট্রন, পজিট্রন ও নিউট্রিনোতে পরিণত হয়। বিপরীতভাবে, এন্টি-নিউট্রনো ও প্রোটন, নিউট্রন ও পজিট্রনে পরিণত হয়। এটাকে ইনভার্স বিটা ডিকে (inverse beta decay) বলে।

এন্টি-নিউট্রিনো ও প্রোটনের এই ইন্টারেকশনের সম্ভাবনা খুব কম। এজন্য বেশি করে এন্টি-নিউট্রিনো তৈরি করা দরকার ছিল, যাতে সেই অনুপাতে বেশি সংখ্যক ইভেন্ট দেখা যায়। সেই সময়ে এরকম উচ্চ নিউট্রিনো ফ্লাক্সের (flux) উৎস হিসেবে ব্যবহার করা হয়েছিল নিউক্লিয়ার রিএক্টর (nuclear reactor)। যদি নেগেটিভ বিটা ডিকেতে এন্টি-নিউট্রিনো তৈরি হয়, সেটি অন্য একটি প্রোটনের সাথে উপরের প্রক্রিয়ায় পজিট্রন ও নিউট্রনে পরিণত হতে পারে। আমরা যদি উভয়কেই ডিটেক্ট করা যায়, আমরা বলতে পারি যে এটি একটি এন্টি-নিউট্রিনোর পরিচায়ক। এরকম কোন পজিট্রন অন্য কোন ইলেকট্রনের সাথে ধ্বংস বা pair annihilation করে দুটি ফোটন সৃষ্টি করে। আসলে এমন “পেয়ার এনিহিলেশনে” একাধিক সংখ্যক ফোটন হতে পারে, কিন্তু দুটি হওয়ার সম্ভাবনা বেশি। অন্যদিকে উপযুক্ত কোন নিউক্লিয়াস মুক্ত নিউট্রনটিকে শোষণ করে একটি ফোটন ছেড়ে দেয়। এরকম একটি উদাহরণ হল ক্যাডমিয়াম নিউক্লিয়াস ( ক্যাডমিয়াম-১১৩ আইসোটোপের উচ্চ neutron absorption cross-section রয়েছে)।  একসাথে এই তিনটি ফোটন চিহ্নিত করতে পারাই এন্টি-নিউট্রনোর প্রমাণ!

কোওয়েন ও রেইনস এই মূলনীতি অনুসরণ করে প্রথমবারের মত এন্টি-নিউট্রিনো সনাক্ত করেন। এই মিথস্ক্রিয়াটি ঘটার জন্য যে প্রোটন লাগবে, তার যোগানের জন্য এক্সপেরিমেন্টটিতে পানি ব্যবহার করা হয়। আবার নিউট্রনকে গ্রহণ করার জন্য ক্যাডমিয়াম-১১৩ আইসোটোপ লাগবে। এটার জন্য ব্যবহার করা হয় ক্যাডমিয়াম ক্লোরাইড। পুরো এক্সপেরিমেন্টের একটি খসড়া নকশা নিচের চিত্রে দেখানো হল। কোওয়েন ও রেইনস তাদের এক্সপেরিমেন্টে তিনটি সিন্টিলেটরের মাঝখানে দুটি ট্যাংক ভর্তি ২০০ লিটার পানি ও ৪০ কেজি ক্যাডমিয়াম ক্লোরাইড রাখেন।

রিএক্টর থেকে আসা এন্টি-নিউট্রিনো পানি অণুর হাইড্রোজেন নিউক্লিয়াসের (প্রোটন) সাথে মিলে পজিট্রন ও নিউট্রন উৎপন্ন করে। পজিট্রন যথারীতি অন্য ইলেকট্রনের সাথে দুটি ফোটনে পরিণত হয়। অন্যদিকে ক্যাডমিয়াম ক্লোরাইডের ক্যাডমিয়াম নিউক্লিয়াস নিউট্রনকে গ্রহণ করে অন্য আরেকটি আইসোটোপে রূপান্তরিত হয় এবং কিছু শক্তি একটি ফোটনের মাধ্যমে ত্যাগ করে। এই ৩ টি ফোটন সিন্টিলেটর পদার্থের উপর প্রতিপ্রভা দেয়, যেটা ফটোমাল্টিপ্লায়ার টিউবে ধরা পড়ে। রিএক্টর বন্ধ রাখলে এমন কিছু পাওয়া যায়নি। এটা এই ইঙ্গিত দেয়, রিএক্টরের বিটা ডিকেতে নিউক্লিয়াস থেকে ইলেকট্রনের পাশাপাশি আরেকটি কণা বের হয়েছিল। এই কণাটির কারণেই এরকম সিগনাল পাওয়া গিয়েছে। এর মধ্য দিয়ে অবশেষে পাউলির তত্ত্বটির সত্যতা প্রমাণ হল!  

পরবর্তীতে দেখা যায়, প্রকৃতিতে প্রতিটি চার্জড লেপ্টনের (ইলেকট্রন, মিউন, টাওন) সাথে একটি করে নিউট্রিনো সংশ্লিষ্ট থাকে। এগুলোর নাম যথাক্রমে ইলেকট্রন নিউট্রিনো, মিউন নিউট্রিনো, টাউ নিউট্রিনো। বিটা ডিকেতে যে নিউট্রিনো পাওয়া যায়, সেটা ইলেকট্রন নিউট্রিনো। নিউট্রিনোর এই তিনটি সম্ভ্রাব্য ধরনকে বলা হয় নিউট্রিনোর ফ্ল্যাভার (flavor)। পরবর্তীকালে দেখা গিয়েছে নিউট্রিনো তার ফ্ল্যাভার পরিবর্তন করতে পারে। এর মানে একটা ইলেকট্রন নিউট্রিনো কিছু সময় পর ইলেকট্রন টাইপ থাকল না, একটা মিউন নিউট্রিনোতে পরিণত হয়ে গেল। এটি বেশ অদ্ভূত একটি ঘটনা, যদিও কোয়ান্টাম মেকানিক্স বলে এটা আলবৎ সম্ভব। ফ্ল্যাভার পরিবর্তনের এই ঘটনাটাকে বলে নিউট্রিনো অসিলেশন (neutrino oscillation)। নিউট্রিনো অসিলেশন মূলত নিউট্রিনো সংক্রান্ত অনেক ধারণা পাল্টে দেয়। একটা সময় ভাবা হত যে নিউট্রিনোর ভর শুন্য।  কিন্তু ফ্ল্যাভার পরিবর্তন হলে ভর থাকা লাগবেই।

আসলে নিউট্রিনোর ভর এতই কম যে সেটাকে শুন্য ধরে ক্যালকুলেশন করলেও তা যে কোন শক্তির জন্য এক্সপেরিমেন্টের ফলাফলের সাথে মিলবে। ২০১৯ সালে জার্মানির কার্লসরুহের ক্যাটরিন এক্সপেরিমেন্ট (KArlsruhe TRItium Neutrino (KATRIN) experiment) বিটা ডিকের এক্সপেরিমেন্ট দিয়ে সরাসরি নিউট্রিনো ভরের একটা সর্বোচ্চ মান নির্ধারণ করেছে। এই ফলাফল কোন মডেলের উপর নির্ভর করে না। যেমনটা আগেই বলেছিলাম, বিটা ডিকেতে একটা নির্দিষ্ট পরিমাণ শক্তি ইলেকট্রন ও নিউট্রিনোর মধ্যে ভাগ হয়। সে অনুযায়ী উচ্চশক্তির ইলেকট্রনের সাথে বের হওয়া নিউট্রিনো খুবই ধীরে চলবে, বা স্থির অবস্থায় থাকবে। নিউট্রিনোর শক্তি = গতিশক্তি + স্থিতশক্তি, স্থিতশক্তি নিউট্রনের ভরের সমানুপাতিক। নিউট্রিনোর গতিশক্তির বিভিন্ন সম্ভ্রাব্য মানের জন্য লেখা যায়,

ইলেকট্রন এর শক্তি যত বেশি, নিউট্রিনোর মোট শক্তি তত ছোট হবে ও মোট শক্তি স্থিত শক্তির তত নিকটে আসবে। তাই শুধু উচ্চশক্তির ইলেকট্রনগুলোকে ডিটেক্ট করে সহযাত্রী নিউট্রিনোর ভরের একটি ধারণা পাওয়া যায়। এক্সপেরিমেন্টাল ডেটা ব্যবহার করে উপরের অসমতাটি দাঁড়ায়ঃ

অর্থাৎ নিউট্রিনোর ভরের সর্বোচ্চ মান ১.১ ইলেকট্রন ভোল্ট বা এর কম হতে পারে। নিউট্রিনোর ভর যদি ১.১ ইলেকট্রন ভোল্টও হয়, এটি খুবই ছোট একটি ভর। মৌলিক কণাগুলোর মধ্যে নিউট্রিনোর পর ইলেকট্রনের ভর সবচেয়ে কম। সেটি হচ্ছে প্রায় ৫১১০০০ ইলেকট্রন ভোল্টের মত। অর্থাৎ নিউট্রিনো ভর যদি সর্বোচ্চও হয়ে থাকে, তার পরবর্তী ভারী কণাটি নিউট্রিনোর তুলনায় ৫ লাখ গুণ বড় হবে!

প্রকৃতিতে মৌলিক কণাগুলোর মধ্যকার মিথস্ক্রিয়া চারটি বল দিয়ে পরিচালিত হয়। কোয়ার্ক, লেপ্টন যেরকম তড়িৎচুম্বকীয়, সবল নিউক্লীয় বলে ক্রিয়া করে, নিউট্রিনো সেগুলোতে অংশ নেয় না। নিউট্রিনো শুধু মাত্র দুর্বল নিউক্লীয় ও মহাকর্ষীয় বলে অন্য কণাদের সাথে ক্রিয়া করে। একারণে নিউট্রিনোকে শনাক্ত করা সহজ নয়। শুরুর দিককার এক্সপেরিমেন্টগুলোতে হাতে গোনা সংখ্যায় নিউট্রিনো পাওয়া যেত। কোওয়েন-রেইনসের যুগান্তকারী এক্সপেরিমেন্টটিতে ঘন্টায় মাত্র তিনটি করে এন্টি-নিউট্রিনো ধরা পড়েছিল। ১৯৮৭ সালের সুপারনোভা থেকে যে ট্রিলিয়ন ট্রিলিয়ন নিউট্রিনো পৃথিবীতে এসেছিল, পৃথিবীর সবকটি ডিটেক্টর মিলিয়ে তার মধ্যে মাত্র ২৫ টি ধরা পড়েছিল! জাপানের ক্যামিওক্যান্ডে ডিটেক্টর একা সনাক্ত করেছিল ১২ টি!  এখনকার প্রযুক্তি দিয়ে ওরকম কোন সুপারনোভার পরিস্থিতিতে আজ ১২০ টির উপর নিউট্রিনো ডিটেক্ট করা সম্ভব। ২৫ থেকে ১২০ এর বিবর্তন নিউট্রিনোর হিসাবে অনেক। নিউট্রিনোর সবকিছু এখনো আমাদের জানা নয়, আবার জানা চমকপ্রদ জিনিসগুলোও পুরোপুরি বোধগম্য নয়। প্রকৃতির এই রহস্যময় কণাটিকে বুঝতে পদার্থবিজ্ঞানীরা কাজ করে যাচ্ছে। অদূর ভবিষ্যতেই আমরা নতুন কিছু দেখতে পাব।

-মোঃ সামিউর রহমান মীর

On the last day of the workshop, the final examination took place. Students who aced the examination and who performed most consistently were rewarded. Md Mahabur Rahman secured the 1st position in the workshop and Md Juned Miah secured the 2nd. Both of them are from the University of Dhaka.

CP is grateful to the following two followers: Sadman Sakib and Golam Mortuza Hossain for their immense effort as volunteers, who help us run this workshop smoothly. We look forward to the next workshop, which will be bigger and hopefully better in terms of quality, content and learning experience.

Udvash (academic and admission care) was kind enough to provide us with an amazing venue, completely free of cost, as they do every year. A big shoutout to them. 

 Let us look at some of the memorable glimpses of this workshop: 

Finally a group photo:  

For any inquiry, email us:  [email protected]

Our Facebook page:  https://www.facebook.com/communityofphysics/ 

Writer: 

মনে কর, তোমার কাছে দু টুকরো বরফ আছে, হুবহু আকারের। তুমি একটিকে রেখে দিলে এসি রুমের ভিতরে একটি পাত্রে, আরেকটিকে অন্য পাত্রে করে রেখে দিলে খোলা বারান্দায়। আধা ঘন্টা পর দেখবে বরফ দুটি গলা শুরু করেছে। কিন্তু বারান্দার বরফটি বেশি গলেছে। কেন? তুমি বলবে, বারান্দায় যেহেতু তাপমাত্রা বেশি ছিল, সে কারণে বারান্দার বরফটি বেশি তাপ নিয়ে দ্রুত পানিতে রুপান্তরিত হয়েছে। আমরা দেখতে পাচ্ছি, এই বরফ খন্ডের পরিবর্তনের সাথে বাইরের তাপমাত্রার একটি সম্পর্ক আছে। বরফের সাথে যে পরিবেশের তাপমাত্রার পার্থক্য বেশি (এক্ষেত্রে বারান্দা), সেখানে বরফের গলনের হার বেশি। তাপমাত্রার পার্থক্য ও গলনের হার যদি সমানুপাতিক হয়, লিখতে পারি- গলনের হার= ধ্রুবক x পরিবেশের সাথে তাপমাত্রার পার্থক্য ।

কোন শীতল বস্তুকে উষ্ণ পরিবেশে রেখে দিলে শীতল বস্তুর তাপমাত্রা এভাবেই পরিবর্তিত হয়। অর্থাৎ সাধারণভাবে (সকল শীতল বস্তুর জন্য, শুধু বরফ না) লেখা যায়, সময়ের শীতল বস্তুর তাপমাত্রা পরিবর্তনের হার= ধ্রুবক x পরিবেশের সাথে তাপমাত্রার পার্থক্য । এই সম্পর্কটি হচ্ছে নিউটনের শীতলিকরণের সূত্র। এখানে ধ্রুবক=১।

বরফ গলার উদাহরণটির মত কোন বস্তুর ভৌত ধর্ম সময়ের সাথে যেভাবে পরিবর্তিত হচ্ছে, সেই গতিপ্রবাহকে যদি সমীকরণে প্রকাশ করতে চাই, সেই সমীকরণটি কিরকম হবে? কিভাবে একটু একটু করে পরিবর্তিত হয়ে ঘটনাটি চূড়ান্ত পর্যায়ে রূপ নিচ্ছে, তা হিসাবে আনতে ঐ ধর্মের সাথে সম্পর্কিত পরিবর্তনের হার ও স্বাধীন ভ্যারিয়েবল (যার/যাদের উপর ভৌত ধর্মটি নির্ভর করবে) এর সাথে সম্পর্ক বিশ্লেষণ করা লাগবে। এভাবে যে সমীকরণটি দাঁড়ায়- সেটিই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। শীতলীকরণের সূত্রটিকে যদি গানিতিক ভাষায় লিখি, এটা দাঁড়াবে- dT/dt=(E-T); এখানে T ও E হল শীতল বস্তু ও পরিবেশের (enviromment) তাপমাত্রা, t হল সময়। বাম দিকের পদটি সময়ের সাথে শীতল বস্তুর তাপমাত্রা পরিবর্তনের হার ও ডানদিকে তাপমাত্রার পার্থক্য বুঝায়। একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে সর্বোচ্চ যত তম ডেরিভেটিভ আছে, সেটাকে বলা হয় সমীকরণের অর্ডার/ক্রম। উপরের সমীকরণটি একটি ১ম অর্ডার সমীকরণ।

পদার্থবিজ্ঞানের তত্ত্বগুলো কোন সিস্টেমের গতিশীল আচরণকে গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা করে থাকলে, সেই তত্ত্ব বস্তুত সেই সিস্টেমের জন্য এক বা একাধিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বুঝাবে। যেমনঃ সরল ছন্দিত স্পন্দনের সমীকরণ পাই হুকের সূত্র থেকে। নিউটনের মহাকর্ষীয় সূত্রে বল এর মধ্যে অবস্থানের ২য় ডেরিভেটিভ আছে। তেজস্ক্রিয়তার ক্ষয়ের সূত্রটি ১ম অর্ডার সমীকরণ। ম্যাক্সওয়েলের ১ম অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলো হল তড়িৎ-চুম্বকীয়বিদ্যার প্রাণ।

তত্ত্ব থেকে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পেলাম, এরপর কি? এরপর আসল কাজ, এটা সমাধান করতে হবে। সমাধান করে পরিবর্তী ফাংশনের একটি closed form প্রকাশ করার চেষ্টা করি। কখনো এমনিতেই হয়ে যায়, কখনো সহজে হয় না। সমাধানের রাস্তা একেক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণর জন্য একেকরকম। কোন সমীকরণ লিনিয়ার, কোনটা নন-লিনিয়ার। কোনটা ১ম অর্ডার, কোনটা ২য় অর্ডার,৩য় অর্ডার ইত্যাদি। নন-লিনিয়ার সমীকরণ সমাধান করা একটু জটিল, বিশ্ববিদ্যালয়ের পাঠ্যক্রমে প্রাথমিকভাবে লিনিয়ার ১ম, ২য় অর্ডার সমীকরণেই বেশি জোর দেওয়া হয়। কিন্তু দুটি সমীকরণ লিনিয়ার ও একই অর্ডারের হলেই যে তাদের সমাধান একই রকম হবে এমন না। এই দুইটি বৈশিষ্ট্য থাকার পরেও সমীকরণে পার্থক্য থাকতে পারে। বস্তুত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের কোন সরল পথ নেই, সমীকরণটাকে দেখে বোঝা লাগবে কোন কোন স্টেপ করলে সমাধান হবে। স্প্রিং-ম্যাসের সমীকরণের সমাধান পাবে সহজ,সরল সাইন-কস ফাংশন। হাইড্রোজেন পরমাণুর ওয়েভ ফাংশনের ব্যাসার্ধের দিক বরাবর সমাধান সাইন-কোসাইন ফাংশন না, সেটি Associated Laguerre Polynomial । কিন্তু দুটি সমীকরণই ২য় অর্ডার, লিনিয়ার!

আবার যে ফাংশনটাকে সমাধান করছি, সেটি কয়টি ভ্যারিয়েবলের উপর নির্ভর করছে? একটি নাকি একাধিক? একটি হলে সেটার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে বলা হয় ordinary ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ । একাধিক হলে partial ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণগুলো ২য় ধরনের। তড়িৎক্ষেত্র ও চুম্বকক্ষেত্র স্থান (x,y,z) ও সময়ের (t) উপর নির্ভর করে- মোট ৪ টি ভ্যারিয়েবল। partial সমীকরণগুলো সমাধান করতে আমাদের আরো দুশ্চিন্তায় পড়ার কথা ছিল; ভাগ্যক্রমে পদার্থবিজ্ঞানে লিনিয়ার partial সমীকরণগুলোর জন্য ‘separation of variables’ নামে একটি পদ্ধতি ব্যবহার করে থাকি, সব সমীকরণেরই সাধারণ সমাধান এটা দিয়ে করা যায়! কখনো ডেরিভেটিভ বাদে অন্য কোন ফাংশন থাকতে পারে। যেমনটা হয় চার্জ বা তড়িৎ প্রবাহ উপস্থিত কোন সিস্টেমের ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণগুলোর ক্ষেত্রে। বা ক্যাপাসিটর-ইনডাক্টর সিস্টেমে (এখানে তড়িৎ প্রবাহ ও চার্জ সরল ছন্দিত স্পন্দন করে) যদি একটি অল্টারনেটিং তড়িৎ প্রবাহ source লাগিয়ে দেই। এই AC source বা চার্জ, তড়িৎ প্রবাহ উপস্থিত থাকলে সমীকরণে একটি source টার্ম যুক্ত হবে। গণিতে এই পদটাকে বলা হয় ‘inhomogeneous’ । inhomogeneous পদ আছে এরকম লিনিয়ার সমীকরণ সমাধান করতে Green’s function technique খাটানো হয়। তুমি হয়ত ভাবতে পার, homogeneous সমাধান পেলেই হল, কি দরকার inhomogeneous নিয়ে মাথা ঘামানোর?! তুমি যদি যেকোন সাধারণ সিস্টেম নিয়ে চিন্তা কর, সেখানে স্থির চার্জ ও গতিশীল চার্জ (=তড়িৎ প্রবাহ!) উভয়ই থাকতে পারে এবং এমন কোন সিস্টেমের ‘সাধারণ সমাধান’ বের করতে Green’s function technique দিয়েই আসতে হবে। যদি তুমি ‘সাধারণ সমাধান’ পাও, সেখানে চার্জ=তড়িৎ প্রবাহ=০ বসিয়ে ‘inhomogeneous সমাধান’ পেতে পারো। কিন্তু চার্জ-তড়িৎ প্রবাহ ছাড়া লিনিয়ার সমাধানে তো ইচ্ছামত চার্জ-তড়িৎ প্রবাহ নিয়ে আসতে পার না!

আরেক ধরনের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ নিয়ে কথা বলা হয়নি। সেটি হল coupled ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (coupled DE)। এখানে পরিবর্তী ফাংশন একাধিক সংখ্যক থাকে। ভ্যারিয়েবল একটিও হতে পারে, একাধিকও হতে পারে। একটি স্প্রিংএর দুইদিকে দুটি ম্যাস লাগিয়ে দাও। প্রতিটা ম্যাসের গতিপথের সমীকরণ তার নিজের অবস্থান ও অন্য ম্যাসটির অবস্থান- উভয়ের উপরেই নির্ভর করে। যেমনঃ 

উপরের সমীকরণে দেখতে পাই যে x(t) এর পরিবর্তন  নিজের উপর ও অন্য ফাংশন y(t) এর উপর নির্ভর করে। যেসকল ক্ষেত্রে condensed matter, crystal আকারে থাকে, সেখানে পরমাণুগুলোর অবস্থান ত্রিমাত্রিক স্প্রিং-ম্যাস সিস্টেমের মত থাকে। তাদের অবস্থানের coupled সমীকরণের সমাধান ঐসব পদার্থের বিভিন্ন ভৌত বৈশিষ্ট্য যেমন- শক্তি ব্যান্ড, আপেক্ষিক তাপ, পরিবাহিতা ইত্যাদি বুঝতে সাহায্য করে। ভেবে দেখ, নিউটনের মহাকর্ষীয় সূত্রটিও কিন্তু coupled ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ!

একটা সময় ছিল যখন ভাবা হত শক্তি একটি continuous quantity । সনাতনী পদার্থবিদ্যায় আমরা তাই-ই দেখি, একটি বস্তুর শক্তির সংখ্যাগত মান যেকোন বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। কিন্তু এখন যদি বলা হয়, কোন কণার শক্তি ১ জুল,২ জুল,৩ জুল …… ইত্যাদিই হতে পারবে কিন্তু এর মাঝামাঝি কোন মান হতে পারবে না, তা নিশ্চয়ই উদ্ভট শোনাবে? অথচ অস্ট্রিয়ান বিজ্ঞানী এরউইন শ্রডিঙ্গার হাইড্রোজেন এটমের জন্য তার ‘শ্রডিঙ্গার সমীকরণ’ সমাধান করে দেখান যে সেখানে ইলেকট্রনের শক্তি বিচ্ছিন্ন (discrete) হবে! এভাবেই পদার্থবিজ্ঞানে তত্ত্ব থেকে আসা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করে তাৎপর্যপূর্ণ, যুগান্তকারী আবিষ্কার হয়েছে। এমন আরো গুরুত্বপূর্ণ ব্যাখ্যা ও তার প্রয়োগ এসেছে শ্রডিঙ্গারের সমীকরণের সমাধান থেকে। যেমনঃ বিভিন্ন পদার্থের বর্ণালী বিশ্লেষণ, তড়িৎ-চুম্বকীয় তরঙ্গের quantization, quantum dot, Bose-Einstein condensation, Tunnel diode এবং আরো অনেককিছু। ক্লাইন-গর্ডন সমীকরণের সমাধানে ঋণাত্নক শক্তির ব্যাখ্যা করতে গিয়েই প্রথমবারের মত এসেছিল প্রতিপদার্থের ধারণা। তাপগতিবিদ্যায় ‘তাপ সমীকরণ’ একই মাত্রার গুরুত্ব বহন করে। সকল প্রবাহী পদার্থের জন্য মৌলিক সূত্রটি হল নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ। এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি ব্যবহার করে গণিতের কড়াকড়ি (Rigorous) তাত্ত্বিক গবেষণা যেমন চলছে, তেমনি আবহাওয়া মডেলিং, সাগরের জলপ্রবাহ মডেলিং, রক্ত সঞ্চালনের প্রকৃতি, উড়োজাহাজের নকশার মত নানাবিধ ব্যবহারেও আছে। ইন্টারনেটে খুঁজতে গেলে সাধারণ আপেক্ষিকতা তত্ত্বে আইনস্টাইনের যে সমীকরণটি দেখতে পাও, সেটি আসলে ১৬ টি নন-লিনিয়ার, partial, coupled ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। দেখতে নিরীহ এই সমীকরণটি সমাধান করাটা বেশ দুরূহ। অদূর ভবিষ্যতে জ্যোতির্বিজ্ঞান গবেষণার অনেকাংশই নির্ভর করবে মহাকর্ষীয় তরঙ্গের উপর আর তার আকৃতি কেমন হবে তা আমরা পাব সেই ১৬ টি সমীকরণ সমাধান করে! এইসব কঠিন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান খাতা-কলমে কুলানো যায়নি। এসব ক্ষেত্রে অহরহই কম্পিউটারের সাহায্য নেয়া হয়। ম্যাটল্যাব, ম্যাথমেটিকা, ম্যাপলের মত সফটওয়্যারগুলো দ্রুত সঠিক সমাধান দিচ্ছে। তাতেও কাজ না হলে কখনো বিজ্ঞানীরা তাদের নিজেদের প্রয়োজনে আরো কার্যকরী সফটওয়্যার বানিয়েছে যেমনঃ ANSYS, Einstein toolkit ইত্যাদি।

গবেষণার কাজে সমাধানের রাস্তাটা দীর্ঘ, জটিল ও ক্লান্তিকর লাগতে পারে, কিন্তু সমাধান শেষের আনন্দটা নিখাদ! 

-মোঃ সামিউর রহমান মীর

A special mention is deserved by the volunteers. Here is a list of the followers of who proved their worth while acting as volunteers: 

Rakibul Islam 

Md Abdus Sami Akanda (from Khulna initiative)

Golam Martuza Hossain 

Partha Sarker 

Zubaida Karim Juthy (from Khulna initiative)

Anom Ahmed

Jaber Ibner Taher

Musfik Fahim

In the workshop, the first position was secured by Al Abrar Islam from University of Dhaka, and the second was by Md Alim Al Razy from BRAC University. In the Physics Hustle, Abrar Al Shadid Abir from Chittagong College secured the first place. 

We would like to thank all the followers and participants from all over the country and endured all the small mistakes that took place in this process. We hope you will be with us in our future endeavors. 

Finally, here is a glimpse of a small congregation of the members, followers and participants of the Community of Physics family.   

এই গল্পটায় রামানুজনের মত অলৌকিক গাণিতিক ক্ষমতার কোন ছোঁয়া নেই, সাদা চামড়ার লোকদের অবদান নেই, আর তার জন্যই বোধহয় ভারতের এই গৌরবদীপ্ত ইতিহাস আমাদের অতটা টানে না। সে যাক, আমাদের গল্পের মূল নায়ক সঙ্গমগ্রামের মাধব। কিন্তু ইনি যেন তেন মানুষ নয়, প্রাচীন মুনিঋষির মতো জ্ঞানপ্রবাহে একা নিয়োজিত থাকেননি। একা একা জ্ঞানের চর্চায় বেশিদূর যাওয়া যায়না। মাধবের জন্মস্থান ভারতে কেরালার ত্রিশূর জেলায়, কাজেই কেরালায় তিনি বানালেন এক প্রতিষ্ঠান, যেখানে শুরু হলো গণিত আর জ্যোতির্বিজ্ঞানের গবেষণার অভুতপূর্ব নিদর্শন। এই প্রতিষ্ঠানকে বলা হতো কেরালার জ্যোতির্বিজ্ঞান ও গণিত বিদ্যালয়। এই বিদ্যালয় জ্ঞানচর্চায় অবদান রেখেছে প্রায় তিন শতক পর্যন্ত, স্বাধীনভাবে আবিষ্কার করে গণিতের কিছু মৌলিক ফলাফল। 

মাধব নিজে ছিলেন একজন অসাধারণ গণিতবিদ, তার মূল কাজের প্রধান উল্লেখ্য হল অসীম ধারা। মোটামুটি উচ্চ মাধ্যমিকের গণিত পড়লেই জানা যায়, কোসাইন আর সাইন ফাংশনগুলোকে অসীম ধারার সাহায্যে লেখা যায়, যেটাকে আমরা আজ বলি টেইলর/ম্যাকলরিন ধারা। 

মাধব এই ধারাগুলো ব্যবহার করেছিলেন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোকে বহুঘর পর্যন্ত সঠিক মান বের করার জন্য। তবে সবচেয়ে চমকপ্রদ ছিলো কোণকে ট্যানজেন্ট অনুপাত দিয়ে প্রকাশ; এ ধারাকে মাধব বর্ণনা করে গেছেন এইভাবেঃ 

“The first term is the product of the given sine and radius of the desired arc divided by the cosine of the arc. The succeeding terms are obtained by a process of iteration when the first term is repeatedly multiplied by the square of the sine and divided by the square of the cosine. All the terms are then divided by the odd numbers 1, 3, 5, .... The arc is obtained by adding and subtracting respectively the terms of odd rank and those of even rank. It is laid down that the sine of the arc or that of its complement whichever is the smaller should be taken here as the given sine. Otherwise the terms obtained by this above iteration will not tend to the vanishing magnitude.“ 

যেটাকে গাণিতিক পদ্ধতিতে লিখলে পাওয়া যায়ঃ 

হ্যাঁ, এখন এটাকে গ্রেগরি সিরিজ বলে। একটা মজার কাজ করা যাক, এই সিরিজে থেটার স্থানে  π/4  বসানো যাক। যেহেতু  π/4 রেডিয়ান কোণের ট্যানজেন্ট এর মান জানা আছে এক, তাহলে আমরা পেয়ে যাবোঃ 

চেনা যায় কি? এটাই লাইবনিজের পাই এর মান বের করার বিখ্যাত ফরমুলা, সেটা মাধব ব্যাবহার করেছিলেন। তবে তিনি এর চেয়েও দ্রুত পাইয়ের মান বের করার ফরমুলা দিয়েছিলেন, যেটা দিয়ে সেসময় দশমিকের পর সতের ঘর পর্যন্ত পাইএর মান বের করা গেছে।  ধারা বের করেই কি তিনি বসেছিলেন? অবশ্যই না। কখন ধারাটি অভিসারী হবে, কখন অপসারী হবে সে শর্তও দিয়েছিলেন। ট্রান্সেন্ডেন্টাল সমীকরণ বলে একধরণের সমীকরণ আছে, যার সমাধান সত্যিকার অর্থে কোনো পরিচিত ফাংশন দিয়ে লেখা যায় না। তার জন্য আমাদের কম্পিউটারের আশ্রয় নিতে হয়। কম্পিউটারে আমরা এল্গরিদম লিখে দেই, সেই অনুযায়ী কম্পিউটার হিসেব করে একটা নির্দিষ্ট ঘর পর্যন্ত সঠিক ফল আমাদের বলে দেয়। মাধব এরকম এলগরিদমের বর্ণনাও দিয়ে গেছেন। মাধবের আরো অনেক অনেক কাজ আছে, এখানে বলতে গেলে কিন্তু লেখা শেষ হবে না। তার কয়েকটা বইয়ের নাম জানা যাক (বাংলা উচ্চারণে লিখছি),

চন্দ্রব্যাখ্যান 

স্ফুটচন্দ্রপতি

অগ্নিতা-গ্রহচড় এবং আরো অনেক বই

মাধবকে বলে মধ্যযুগের গণিতবিদ আর ক্লাসিকাল এনালাইসিসের পথপ্রদর্শক।

তবে কেরালার সেই স্কুলে মাধবই একমাত্র গণিতবিদ ছিলেন তা কিন্তু নয়। তার মৃত্যুর পর তার এই প্রতিষ্ঠান টিকে ছিলো আরো দুইশত বছর। সেখানে তার ছাত্ররা যা করেছে তার তুলনা কিন্তু কমই। সেখানের ফলাফলগুলো নিয়ে নীলকান্ত সংস্কৃতে লিখেছে “তন্ত্রসংগ্রহ”। তার উপর আবার তরজমা/সমালোচনা গ্রন্থ ছিলো এখান থেকেইঃ “তন্ত্রসংগ্রহ ব্যাখ্যা”, সেটা অবশ্য কে লিখেছেন জানা নেই। মাধব ও তার ছাত্রদের অনেক আবিষ্কারেরই প্রমাণ ছিলো না অবশ্য, কিন্তু প্রায় শত বছর পর এখান থেকে গাণিতিক প্রমাণসহ ১৫৩০ এর দিকে জেষ্ঠ্যদেব মালায়লাম ভাষায় প্রকাশ করেন “যুক্তিভাষা”, অনেকসময় একে ডাকা হয় “গণিত-নয়াসংগ্রহ” নামেও।  কেরালার বিদ্যালয়টি ডিফারেন্সিয়েশন-ইন্টিগ্রেশনের ভিত কিছুটা দাঁড় করাতে পারলেও অবশ্য আধুনিক গণিতের মতো খুব নিখাদ থিওরি কিন্তু দাঁড় করাতে পারেনি। তারপরও এদের মতো উন্নতি অন্যদের মধ্যে খুব সম্ভবত আরবরা ছাড়া আর কেউ দেখাতে পারেনি। বলা হয়ে থাকে, বিদ্যালয়টি পনের শতকে সৌরকেন্দ্রিক মডেলকে স্বীকৃতি দেয়। তবে ভারত আর আরবের এই গাণিতিক অগ্রগতির কতক ইউরোপে ফার্মাদের হাতে পৌঁছেছিল, এ ব্যাপারে প্রমাণ মেলে। তবে কতটুকু পৌছেছিল, সেটা জানাটাই চ্যালেঞ্জের কাজ। এই নিয়ে উত্তর-আফ্রিকা এবং স্পেনে পাওয়া পান্ডুলিপি নিয়ে ফ্রান্সে গবেষণাও চলছে। 

শেষকথাঃ 

একটা সময় ছিলো যখন জ্ঞানচর্চায় একাই বহুদূর এগিয়ে যাওয়া যেত। অবশ্য সে সময়টায় আমাদের বেশি কিছু জানাও ছিলো না। তারপরও এই মেধাবীরা বুঝতে পেরেছিলেন যৌথভাবে জ্ঞানচর্চার গুরুত্ব। এখন যুগের ধরণটাই এমন, একা কদম ফেলাটিও মুশকিল। বিশেষ করে আমাদের দেশে আইনস্টাইন, নিউটন, সত্যেন বোস এই মহাঋষিদের উদাহরণ বারবার ভিন্ন প্রেক্ষাপটে টেনে এমন এক সংস্কৃতি চালু করা হয়েছে, যেখানে উৎসুক শিক্ষার্থীদের মনে বাস্তবতার চেয়ে জ্ঞানচর্চা কিছুটা কাব্যিক আর রোমান্টিক মিশেলে ধরা দেয়। 

এই সময় আমাদের খুব দরকার সত্যিটা উপলব্ধি করা। এখন কোনো কিছুতে এগুতে গেলে লক্ষ-কোটি টাকার দরকার হয়, যৌথ উদ্যোগের দরকার হয়, স্বাধীনভাবে কাজ করার পরিবেশের দরকার হয়। এই উপলব্ধি যতদিন জাতিগতভাবে না ফুটবে, উন্নতির গালগল্পের জন্য আমাদের পশ্চিম আর ইতিহাসের দিকে চেয়েই দিন কাটাতে হবে।  সেই স্বপ্ন আর উপলব্ধিটাই আমাদের কমিউনিটি অফ ফিজিক্সের উপজীব্য। একদিন  আমাদের হাত ধরে বাংলাদেশেও গড়ে উঠবে বিজ্ঞানের আন্তর্জাতিক মানের গবেষণা প্রতিষ্ঠান, এই স্বপ্নটুকু লালন করা খুব অলীক আর ঔদ্ধত্যপূর্ণ হয়ে যায় কি? 

রেফারেন্সঃ  [১] উইকিপিডিয়া ডট কম [২] আ হিস্ট্রি অফ কেরালা স্কুল অফ হিন্দু এস্ট্রোনমি - কে ভি ভারমা  [৩] মাধবের ছবিঃ ফেমাস-ম্যাথামেটিশিয়ানস ডট কম। 

- মারুফ আহমেদ