حدود پایین و بالای دنباله
New Post has been published on https://mthmtcs.ir/upper-lower-limit/
حدود پایین و بالای دنباله
تعریف ۱:
فرض کنید $a_n$ یک دنبالهای از اعداد حقیقی و از بالا کراندار باشد. دنبالۀ $M_n$ را چنین تعریف می کنیم
\beginalign*
M_n=\sup\seta_n,a_n+1,\cdots
\endalign*
به آسانی دیده می شود که دنبالۀ $M_n$ نزولی است و بنابراین $\lim_n\to\inftyM_n$ موجود است.
$\lim_n\to\inftyM_n$ را حد بالای $a_n$ می نامیم و با $\varlimsup_n\to\inftya_n$ یا $\lim_k\to\infty\sup_n\ge ka_n$ نمایش می دهیم. مثلاً، اگر $a_n=(-1)^n$ آنگاه $\varlimsup_n\to\inftya_n=1$ و اگر $a_n=-n$ آنگاه $\varlimsup_n\to\inftya_n=-\infty$.
تعریف۲:
اگر $a_n$ یک دنبالهای از اعداد حقیقی و از بالا کراندار نباشد، تعریف می کنیم :
\beginalign*
\varlimsup_n\to\inftya_n=\infty.
\endalign*
قضیه۱:
اگر $a_n$ یک دنبالهای از بالا کراندار و $\lim_n\to\inftya_n$ موجود باشد، آنگاه:
\beginalign*
\varlimsup_n\to\inftya_n=\lim_n\to\inftya_n.
\endalign*
تعریف۳:
فرض کنید $a_n$ یک دنبالهای از اعداد حقیقی که از پایین کراندار است و
\beginalign*
m_n=\inf\seta_n,a_n+1,\cdots
\endalign*
دنبالۀ $m_n$ صعودی است و لهذا، $\lim_n\to\inftym_n$ موجود است. $\lim_n\to\inftym_n$ را حد پایین $a_n$ می نامیم و با $\varliminf_n\to\inftya_n$ یا $\lim_k\to\infty\inf_n\ge ka_n$ نمایش می دهیم.
تعریف۴:
اگر $a_n$ یک دنبالهای از اعداد حقیقی باشد که از پایین کراندار نباشد، تعریف می کنیم :
\beginalign*
\varliminf_n\to\inftya_n=-\infty.
\endalign*
احکام زیر نتایج مستقیم تعاریف حدود بالا و پایین هستند.
نتیجۀ۱:
اگر $a_n$ از پایین کراندار و $\lim_n\to\inftya_n$ موجود باشد آنگاه، $\varliminf_n\to\inftya_n=\lim_n\to\inftya_n$.
نتیجۀ۲:
اگر $a_n$ یک دنبالهای از اعداد حقیقی باشد آنگاه
\beginalign*
\varliminf_n\to\inftya_n\le \varlimsup_n\to\inftya_n.
\endalign*
قضیه۲:
اگر $a_n$ یک دنبالهای از اعداد حقیقی باشد بطوریکه
\beginalign*
\varliminf_n\to\inftya_n= \varlimsup_n\to\inftya_n=a.
\endalign*
آنگاه $\lim_n\to\inftya_n=a$
قضیه۳:
فرض کنید $a_n$ و $b_n$ دنبالههای کراندار از اعداد حقیقی باشند. در اینصورت
اگر همواره $a_n\le b_n$، آنگاه \beginalign* \varlimsup_n\to\inftya_n\le \varlimsup_n\to\inftyb_n\qquad,\qquad \varliminf_n\to\inftya_n\le \varliminf_n\to\inftyb_n \endalign*
\beginalign* \varlimsup_n\to\infty(a_n+b_n)\le \varlimsup_n\to\inftya_n+\varlimsup_n\to\inftyb_n \endalign*
\beginalign* \varliminf_n\to\infty(a_n+b_n)\ge \varliminf_n\to\inftya_n+\varliminf_n\to\inftyb_n \endalign*
قضیه۴:
فرض کنید $a\in\mathbb R$. شرط لازم و کافی برای آنکه $\varlimsup_n\to\inftya_n=a$ باشد آن است که:
به ازای هر $\varepsilon>0$، عدد طبیعی مانند $N$ موجود باشد بطوریکه به ازای هر عدد طبیعی $n$ اگر $n\ge N$ آنگاه $a_n<a+\varepsilon$.
به ازای هر $\varepsilon>0$ و هر عدد طبیعی $N$ عدد طبیعی مانند$n$ موجود باشد بطوریکه $n\ge N$ و $a_n>a-\varepsilon$.
قضیه۵:
شرط لازم و کافی برای آنکه $\varliminf_n\to\inftya_n=a$ ($a\in\mathbb R$) آن است که:
به ازای هر $\varepsilon>0$، عدد طبیعی مانند $N$ موجود باشد بطوریکه به ازای هر عدد طبیعی $n$ اگر $n\ge N$ آنگاه $a-\varepsilon<a_n$.
به ازای هر $\varepsilon>0$ و هر عدد طبیعی $N$ عدد طبیعی مانند$n$ موجود باشد بطوریکه $n\ge N$ و $a_n<a+\varepsilon$.
قضیه۶:
هر دنبالۀ کراندار از اعداد حقیقی دارای زیر دنبالهای همگراست.
قضیه۷(شرط کوشی):
شرط لازم و کافی برای آنکه دنبالۀ$a_n$ از اعداد حقیقی همگرا باشد آن است که:
به ازای هر $\varepsilon>0$ عددی طبیعی مانند $N$ موجود باشد بطوریکه به ازای هر دو عدد طبیعی$m$ و $n$ اگر $m\ge N$ و $n\ge N$ آنگاه
\beginalign*
\absa_m-a_n<\varepsilon
\endalign*
