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100MHzのLPFをDUTにして、〜300MHzの範囲で周波数をスキャンしながら、反射信号と通過信号として得られた振幅をプロットすると下記のようになりました。縦軸は対数としています。ここまでは前回までに紹介した状態です。

通過特性が100MHz付近でカットオフしていることと、反射信号が100MHzを越えるとほぼ全反射になっていること、100MHz以下の通過帯域で反射のリプルがあることがわかります。全体的にはそれらしい特性が得られていますが、右肩下がりになっていることが気になります。さらに縦軸の位置も大きくずれています。これは反射と通過の感度が違っているためです(反射側は抵抗ブリッジを介しているので感度が大きく下がります)。

logmagという関数は複素数の振幅を取って対数でプロットしています。周波数特性が右肩下がりになっているのは、周波数が高いとミキサ(SA612)の感度が下がってくることが原因です。これを校正処理で補正していくわけです。

校正処理にはいくつも種類があるのですが、まずは最も簡単なレスポンス校正をやってみます。

レスポンス校正は、あらかじめ基準となるレスポンスを計測しておきます。そしてDUTを計測して得られた振幅を、基準となるレスポンスの振幅で割り算してやります。基準となるレスポンスとは何かというと、反射特性の計測については全反射、すなわちオープンまたはショート状態のことです。一方通過特性については、基準は全通過(スルー)状態、すなわち出力ポートを受信ポートに直結した状態のことです。計測すると以下のようなグラフが得られます。

全反射、全通過いずれも右肩下がりになっていることがわかります。これを基準としてDUTの計測結果を割り算することで正規化され、全反射もしくは全通過を1とした相対値が得られることになります。

先ほどのLPFについてこれを行ってみると、下記のようなグラフが得られます。

それらしいグラフになりました。通過帯域の通過量や、阻止域の反射量がおよそ0dBになっていることがわかります。レスポンス校正は割り算だけの簡単な処理ですが、ちゃんとそれらしい結果が得られました。

このようにレスポンス校正でも充分実用的な結果が得られるのですが、実はネットワークアナライザの誤差の原因には、もっと多くの要素があります。

その一つがカプラ(抵抗ブリッジ)の方向性です。反射の測定において、反射信号が無ければブリッジからは出力が出てこないはずですが、実際には方向性は完全ではなく漏れがあります。具体的には、無反射終端すなわち50Ωにマッチした負荷を接続した場合、ポートから出た信号は50Ωですべて消費されて、反射して戻ってくる信号は無いはずですが、実際にはある程度の信号が検出されてしまいます。これは主にブリッジの不完全性が原因です。これを方向性(ディレクティビティ)のエラーと呼びます。(もうひとつ、無反射終端が完全には無反射ではないことも理由の一つです)

同様に通過信号の測定についても、送信、受信ポートをそれぞれ終端してしまい、まったく信号の行き来が無い状態にしたとしても、実際にはごくわずか信号が漏れ出ており、これが測定にかかってきます。こちらはアイソレーションまたはクロストークと呼びます。

ディレクティビティならびにアイソレーションは、共に測定した信号から差し引くことで、キャンセルすることが可能です。大きい方がロードの観測値でディレクティビティを示します。小さい方がアイソレーションです。対数を取っているのでアイソレーションで観測値が0だった部分はプロットされていません。

もう一つのエラーの要因があります。先ほどレスポンス校正の例では反射の基準としてオープンを使用しましたが、ショートも全反射の状態として使用することができます。オープンとショートは、反射波の符号は正負反対になりますが、振幅は同じとなるはずです。ところが実際に測定してみると、オープンとショートには振幅に差異が生じます。

縦軸のスケールが大きくなっているので差が大きいように見えますが、最大で1dB程度です(でも少なくない値です)。具体的には、ブリッジ入力端子のインピーダンスが負荷インピーダンスの影響を受けて変化していることにより、振幅が変化していることが原因です。簡単な理解では、オープンの開放状態が負荷が軽いのに対して、ショートでは負荷が重いので、振幅が減ってしまっているということに対応しています。この項目をソースマッチといい、信号源と負荷の間の整合の不完全性を示しており、これも校正で補正する対象です。

これらをすべて補正する校正は、エンハンストレスポンス校正と呼びます。信号の出入りを矢印で表現したシグナルフローグラフで示すと下記のようになります。

S11a, S21aが実際の係数(actual)、S11m, S21mが観測された係数(measured)、Ed, Er, Es, Et, Exがエラー項でそれぞれ、ディレクティビティ、リフレクショントラッキング、ソースマッチ、トランスミッショントラッキング、アイソレーションを示しています。すべて複素数です。

目的は、測定された係数S11m、S21mから、実際のS11a, S21aを求めることとなります。シグナルフローグラフから簡単な規則で式を導出することができます。矢印が合流する箇所は和、ループとなっている部分は多重反射＝等比数列の無限和1+x+x^2+x^3...となりますからx<<1であれば1/(1-x)で求めることができます。シグナルフローグラフの詳細は参考書を参照してください。結果として、下記のようになります。

このうち方向性とアイソレーションは、無反射のロード、そしてポート間が無接続すなわちS11a=0, S21a=0の状態ですから、両方のポートをターミネータで塞いだ状態としてS11m、S21mを計測したものがそのままEd,Exとなります。

Es,Erは、S11の式に、オープンS11a=1, ショートS11a=-1として式を二つ立て、これを連立方程式として解いて求めることができます。結果だけ示すと下記のようになります。

式は対称性のある形をしています。S11moはオープンでの反射係数、S11msはショートでの反射係数です。それぞれEdを差っ引いてから計算すると式変形が容易です。

最後にEtですが、送受信直結状態でS21mtを計測します。理想状態であるS21a = 1、S11a=0を仮定すると、Etは下記で得られます。

こうして得られたエラー項を使って、観測値からS11とS21を次のようにして求めることができます。

実際にさきほどの計測値を使ってエラー項を計算してみます。

そしてLPFの観測値を使ってS11,S21を計算してみます。

単に式を書いているように見えますが、すべての周波数について個別に、複素数での計算を行っています。

プロットしてみます。

LPFをDUTとした場合には、レスポンス校正と大きな差異は見られませんが、阻止域の低いレベルでの不要な漏れが取り除かれているのがわかります。

ここまでのグラフでは振幅しか示しませんでしたが、計算は複素数で行っていますので位相も含めて校正しています。そこで反射係数を複素平面上で、スミスチャートとしてプロットしてみます。

通過帯域では原点近くをぐるぐるとインピーダンスが変化しているのがわかります。一方阻止域では円周近くで全反射となりながら位相が回っていることがわかります。このようにスミスチャートだとフィルタの挙動がよくわかります。

結果を見ると少しおかしいことがわかります。残念ながら少し単位円をはみ出してしまっています。本来であれば円をはみ出すことはないはずです。校正処理によって、オープン、ショート、ロードと3箇所がびたっと点に落ちるのですが、その他の部分でずれが生じているようです。いくつか置いた仮定、例えばロードが完全な無反射という仮定が現実と合っていない等の原因があるかもしれません。できればもう少し完全を目指したいところです。改善検討ポイントです。

以上校正処理をPythonで試してみました。この流れはあくまで原理の確認のために行ったことです。現在の作業状況ですが、実はもう既にファームウェアに校正や描画処理も実装してしまいました。これについては引き続き紹介したいと思います。

リファレンス

Agilent AN 1287-3　ネットワーク・アナライザ測定に対する誤差補正の適用 http://cp.literature.agilent.com/litweb/pdf/5965-7709J.pdf

組み立ては7月末に行い、アナログ部分の動作確認を済ませてありました。ファームウェアは、現時点ではChibiOSを使っています。USBのサポートと、I2Sが使えることが理由です。コーデックTLV320AIC3204からI2Sの信号を受け取り、信号処理をします。このあたりはFriskSDRでやっていることとほとんど同じです。今の段階では検証のため、シリアル経由でPCでデータを取得し、プロットしています。当初はPCとのインターフェースをUSB Audioでやろうとして余計な回り道をしましたが、結局USB CDC(シリアル)でやるのが早道でした。USBで接続して、screenで/dev/cu.usbmodem401に接続します。

コマンドをシリアル経由で与えて150MHzまでの任意の周波数を設定できるようにしてみました。Si5351Aから、RFとLOの2つの信号を5000Hzのオフセットで発生させます。ついでにTLV320AIC3204用のクロックとして8MHzを生成していますので、Si5351Aの3出力をフル活用しています。原発振は26MHzのVCTCXOですが、微調整用のコントロール電圧はMCUの12bit-DACで制御します。

さて動作の確認ですが、最初はTXポートに何もつながずオープンのまま、周波数の設定は10MHzにしています。コーデックのADCが動作している状態で、I2Sの受信バッファをシリアル経由でそのままダンプします。読み込むバッファは5ms分、ステレオ16ビット48kHzですので、960バイトです。それをPCで受け取り、Pythonでごにょごにょしてグラフにします。ステレオのLとRが、参照信号と測定対象の反射信号に対応しています。

上のグラフが波形、下がスペクトラムです。緑が参照信号(Reference)、青がTXポートの抵抗ブリッジから得た反射信号(Reflect)です。サンプリング周波数(48kHz)がIF周波数(5kHz)の10倍程度なので、波形がカクカクして尖っています。ReferenceとReflectが同相になっていることがポイントです。スペクトラムを見ると、5kHzの成分のほかに、3倍の15kHzの成分があることがわかります。元が方形波なので、IFにも奇数次の成分が大きく出てきます。5倍の成分25kHzが、ナイキスト周波数24kHzで折り返されて23kHzの位置にわずかに見えていますね。

今度はTXポートに50Ωのターミネータを挿してみます。

そして同様にダンプしてグラフを描いてみます。

青の反射波がほとんど無くなります。信号がターミネートされて反射される信号がほとんど無くなるからです。参照波とくらべて振幅が小さいため、波形では反射波は全然見えませんが、スペクトラムの方ではわずかに見えています。ので、反射波が全く無くなったわけではありません。コーデックのPGAがゲイン0の動作状態ですので、ゲインを上げればぐっと浮かび上がってくるはずです。反射波の大きさに合わせて自動ゲイン調整(AGC)させれば、ダイナミックレンジを大きく確保できるはずです。ちなみに、この反射波の大きさが、負荷インピーダンスについて基準50Ωとの差異を示しています。

今度はショートプラグを挿してみます。

青の反射波が見えてきますが、先ほどオープンのときとは逆相になっています。オープンと同様にショートでも全反射となりますが、ショートの反射は、位相が反対となるからです。

今度は周波数の設定を100MHzにして、オープン状態の波形を観察してみます。

オフセットは5kHzなので見える波形は10MHzのときとほとんど同じです。理由はわかりませんが2倍の成分が増えてきました。100MHzくらいだとオープン状態での位相差が見えてくるほどではないようです(ブリッジからコネクタの距離に相当する)。

位相差が生ずる様子を見たいので、同軸ケーブルを接続してみます。遠端はオープンのままです。

そうすると、反射波の位相がずれるのがわかります。信号が同軸ケーブルを伝搬して、オープン端で反射して戻ってくるのに、往復の長さ分の時間がかかるため、位相がずれるのです。30cmだと、光速3x10^8m/sに、同軸ケーブルの短縮率0.67を乗じて往復で3ns程度です。100MHzの周期10nsに対して30%くらいになります。光の速さが見えるのは面白いですね。同軸の長さを1/4波長に調節すると、往復で位相が180度回転し、遠端オープンの同軸がショートと同じに見えます。教科書通りの話ですが。

というわけで、反射波の振幅と位相が変化している様子を観察することができました。こういう観察はネットワークアナライザの原理が理解しやすくなると思うのですが、いかがでしょう。

あとは位相と振幅を数値化したうえで、周波数をスキャンしながらプロットすると、周波数特性が得られるはずです。ただし以上示したようなPCでのプロットはあくまで動作検証です。原理と動作を確認してファームウェアに落としておきたいと思っています。スタンドアロン化のためのLCD表示はまだ全く手が付いていませんが、これもぼちぼち作業していきたいと思います。

ところで当初の目論見では、Si5351Aの出力する方形波のハーモニクスを使って帯域をGHz程度まで広げることを考えていたのですが、このNanoVNAの構成ではうまくいかないだろうなと考え直しています。というのは、知られているようにミキサSA612は飽和に弱く、入力IP3が-13dBm程度と低い(HF帯からのアップコンバータにSA612を使うと結果が良くない理由の一つがこれです)のですが、元の信号に含まれている3倍成分が、ミキサの歪みで生ずる3倍成分に覆い隠されてしまうのです(下のグラフはSA612のデータシートから引用)。歪みを減らすためには基本波の入力を小さくする必要がありますが、そうすると3倍成分も小さくなってしまい、ダイナミックレンジがほとんど残らず測定にならないだろうと思われます。VWNAがうまくいくのはDDSのエイリアス成分を高次帯域での測定に使っており、ミキサの高調波とは全く違う周波数なので大丈夫ということのようです。SA612とは違う品種の、直線性の良いミキサを使う手もありますが、なかなか安価なものは見当たりません。

というわけで、NanoVNAでは欲張らず基本波だけを前提として〜150MHz程度の帯域と考えておいたほうが良さそうです。

リファレンス

前回の記事：設計編。 http://ttrftech.tumblr.com/post/145707901466/

SA612(NXP) http://www.nxp.com/documents/data_sheet/SA612A.pdf

プロットに使ったpythonのコード https://gist.github.com/edy555/af54b4f3d5ca804541cb29f6a50708bb

NanoVNAを組み立てたのは2016/7/24でした https://twitter.com/edy555/status/757298378900320256