#cardinality

large cardinal

singletons

ultrafilter

Scott's trick

"...it follows from ZFC that every measurable cardinal is inaccessible (and is ineffable, Ramsey, etc.)

huge cardinal

"...real valued measurable cardinals are weakly inaccessible (they are in fact weakly Mahlo)

suppose you were to store all the pieces of glitter in a warehouse with infinite storage, so that the warehouse was full and there was no space left. if you later found another piece ✨ under the couch (as happens with glitter), could this glitter be fit into the warehouse?

✨✨do we consider the set of all pieces of glitter to be countably or uncountably infinite?✨✨

In mean, in both cases, you can fit the piece of glitter into the warehouse though, any infinite cardinal + 1 is the same infinite cardinal

I have a number line.

So, I'd like you to imagine that you've sat down across from me on your first day in class, and I put some kind of math worksheet with this number line on it that gives you a very simple-sounding task: "Circle four."

If you are like nearly every one of the older students I've had, you'll circle the number 4 on the line. And I'd say something like, "That is a perfectly reasonable response to this request. There is nothing wrong with what you've done. But aren't you suspicious about how simple this question sounds? Did you see that there was a twist coming?"

On a number line, the place where we've written 4 is not actually the value 4. It is more like the position 4; we would call this the ordinal number (a number used to track the positional order of things; another example of an ordinal number is the word "fourth," which tells you that there are three other things before that one).

So, if you just circled the number 4, you definitely circled the position, but the thing you circled isn't worth 4. If you were going to circle the thing that has the value (or cardinality, since we're counting individual objects) of 4, it would look something more like this:

This is because in order to have the value of 4, you need everything that came before it! Imagine counting out candy while your kid sister steals and eats the candies you counted already. When you get to your final number, that number is not how many candies you have, but rather how many you counted cuz your sister's got 'em all! For the value of your candies to stay the same, you need all of them to be there!

"Four" could also look, less straightforwardly, like this:

The distance from the start of the circle to the end is four; and since we're circling the line, the length of the line that is circled is four. If we imagine the circle starts (from the left) at the position of 2.3, it would have to end at the position (from the right) 6.3. If we find the difference of the numbers at these positions, we would be doing the equation 6.3 - 2.3 = 4.

A quick summary:

The position of a number is shown with an ordinal number.

The actual physical quantity of the individual items is shown with a cardinal number, which we more typically call the value.

We can find a value inside the ordinals by finding the distance between any two ordinals, via subtraction.

Okay... But notice we've used two words here that seem to imply the same thing: difference and distance. Let's clear this up real quick:

Difference is the result of subtraction. Generally, if we want to find the difference between two things, we subtract the first thing from the second thing:

second - first = difference

But that's not a rule, so much as a norm. In reality, if you wanted to find the difference of two numbers, the person asking had best be very clear which way they want you to do it, because if you reverse this you will get the negative of the result above!

For example, if you were asked to find the difference between 6 and 15, you would do 15 - 6 = 9. But if it's not clear and you instead did 6 - 15, you get -9.

If, however, someone wanted to know how far apart these two numbers are, they would not be asking the difference but rather the distance between these numbers. The result would therefore be the absolute value of either one of these subtractions:

|15 - 6| = |9| = 9, |6 - 15| = |-9| = 9 Same result!

This is in actuality the real use of absolute values. Absolute value is typically shown as "the distance from zero," which is kind of true? But it's really for finding distances of any kind -- in fact, it's later used to mean exactly that when you get into complex algebra (that is, algebra with imaginary numbers) and linear algebra (matrices and vectors).

What we need to do is take these two sets (0,1) and (1,∞) and show that they are the same size. Now if these sets had a finite number of things in them, that would be easy, because you could just count them. But they don't have a finite number of things, so we can't count them. Instead what we do is pair up the numbers between the sets. If we can pair numbers up in a way that a) every pair has one number from each set, b) every number is only in one pair, and c) there are no numbers from either set left out, then the sets are the same size.

We can use this method with finite sets as well, so I'll show you an example of that first.

Set A = (1, 2, 3, 4) Set B = (10, 20, 30, 40)

So in this case, we could make the following pairs: 1 & 10, 2 & 20, 3 & 30, and 4 & 40. Every pair has a number from each set, each number only shows up in one pair, and there are no numbers left over from either set, so we know that set A and B are the same size (since these are finite, we can also just count them to see that there are 4 numbers in each set, but that's not the point).

Now, we could have picked the pairs any way we wanted, but in this particular case we actually used a pattern to choose the pairs. Everything in set B is a multiple by 10 of something from set A, and that's how they're paired up - each pair is a number from set A and that same number multiplied by 10, which also happens to be a number in set B. That means that instead of writing out all 4 pairs like I did above, I could just say that all of the pairs will look like δ & δ*10 (assuming δ is one of the numbers in set A), and that covers everything. Excuse my use of the Greek letter δ; it's pretty commonplace to use Greek letters in math, and I couldn't pass up the opportunity to actually use delta in this post since, you know, it's in my url and all.

So anyway, that's what we need to do to show that (0,1) and (1,∞) are the same size, since it's impossible to write down every single pair. And it's actually pretty easy to do. If δ is a number in (1,∞), then the pair it belongs to is 1/δ & δ (similarly, if δ is in (0,1) then the pair is δ & 1/δ - this is a particularly nice way to pair them because 1/(1/δ) = δ, so the pattern is the same regardless of what set you start with a number from).

This includes all of the numbers from both sets exactly once. Here are some examples:

68 is a number in (1,∞). It gets paired with 1/68, which is in (0,1)

1000 is a number in (1,∞). It gets paired with 0.001, which is in (0,1)

2/5 is a number in (0,1). It gets paired with 5/2, which is in (1,∞)

Those examples all work, but how do I know that the three conditions I laid out earlier are ALWAYS true? Well, let's look at each of them.

a) every pair has one number from each set

So we know that our pair is always δ & 1/δ. If δ is a number in (1,∞), then 1/δ has to be less than 1 (because the numerator is smaller than the denominator) and greater than 0 (because δ is a positive number). And the same is true for δ in (0,1); 1/δ will always be larger than 1 (because the numerator is larger than the denominator).

b) every number is only in one pair

δ is always paired with 1/δ. Each of these are unique values. You can't get 1/δ from dividing 1 by anything other than δ, so this is the only pair it belongs to.

c) there are no numbers from either set left out

This is the trickiest one I think, but it's true. It's easy to think that because (1,∞) looks so much bigger than (0,1), there must be something left out, but there's not. The easiest way to show this is by assuming it's NOT true, and then showing how that can't happen. So let's suppose there's some number in (1,∞) that gets missed. I'm going to call it ε. If it gets missed then that means 1/ε ISN'T in (0,1). But if ε is in (1,∞), then 1/ε has to be less than 1 (because ε > 1) and greater than 0 (because ε is positive), so 1/ε actually IS in (0,1). Which means ε didn't get missed, it has a pair. And you can make the same argument if you assume a number is left out from (0,1). So no numbers have been left out.

I hope this makes some sense; I've tried to explain it in a way that isn't too complicated, but I know that infinity is weird and math is complicated so I won't be offended if it doesn't make sense. But I'm also happy to try to explain some more if anyone is interested!

Üniversite 4.sınıftayken profesör bir gün şöyle demişti: "Ne kadar sayı varsa, o kadar çift sayı vardır." "Gerçekten mi?", diye düşündüm. Aslında evet, ikisinden de sonsuz tane olduğuna göre aynı miktarda oldukları varsayılabilir. Öte yandan, çift sayılar tüm sayıların sadece bir bölümü olup, bir o kadar da tek sayı vardır. Öyleyse, tüm sayıların miktarı çift sayılardan daha fazla olmalı, değil mi?

Öğretmenin nereye varmak istediğini anlamak için, önce iki kümenin eşit büyüklükte olmasının anlamını düşünelim. Sağ elimdeki parmak sayısının sol elimdekine eşit olduğunu söylerken neyi kastediyorum? Tabi ki her birinde 5 parmak var, ama aslında bundan daha basit. Saymama gerek yok. Sadece onların birebir karşılıklı olduğunu görmem yeterli.

3'ten büyük sayılara ad verilmemiş diller konuşan bazı eski toplumlarda, insanların bu tür bir sihir kullandığı düşünülüyor. Örneğin, otlamaları için koyunları saldığınızda, her biri için bir taş koyarak, kaç tanesinin çıktığının hesabını tutabilirsiniz. Geri dönenler için de taşları eksiltirsiniz. Böylece, saymadan eksik olup olmadığını görebilirsiniz.

Karşılaştırma yapmanın saymaktan daha temel olmasına bir diğer örnek olarak şu verilebilir: Bütün sandalyelerin kapıldığı ve kimsenin ayakta kalmadığı ağzına kadar dolu bir salonda konuşurken, sandalyelerin de dinleyicilerin de sayısını bilmesem bile, aynı sayıda olduklarını bilirim. Yani, iki kümenin eşit büyüklükte olduğunu söylerken kastettiğimiz şey, bu kümelerdeki elemanların birebir karşılıklı eşlenebileceğidir.

Üniversite 4.sınıf profesörüm, tamsayıları yanyana dizmiş ve her birinin altına iki katını yazmıştı. Gördüğünüz gibi, alttaki satırda çift sayılar var ve birebir karşılık gelme söz konusu. Yani, ne kadar sayı varsa, o kadar çift sayı var. Ama hâlâ, çift sayıların, bütün sayıların sadece bir bölümü olması gerçeğinden ötürü çektiğimiz sıkıntı, bizi endişelendiriyor.

Peki ama böyle yapmam, sizi iki elimdeki parmak sayısının aynı olmadığına ikna eder mi? Elbette hayır. Elemanları eşleştirmeyi denediğiniz yollardan biri işe yaramazsa sorun olmaz. Bu ikna edici olmaz. Eğer iki kümenin elemanlarını eşleştirecek bir adet yol bulabilirseniz, o zaman bu iki kümenin eleman sayısı eşittir, deriz.

Bütün kesirlerin bir listesini yapabilir misiniz? Çok zor, çünkü çok fazla kesir var! Nereden başlanacak, hepsinin yazıldığından nasıl emin olunacak? Neyse ki, tüm kesirleri listelememizi sağlayan akıllıca bir yol var. İlk olarak 1800'lerin sonunda, Georg Cantor tarafından yapılmış. Önce tüm kesirleri bir ızgaraya yerleştiriyoruz. Hepsi burada. Örneğin, 2/3'ü bulmak için 2.satıra ve 3.sütuna bakabilirsiniz.

Şimdi bundan bir liste çıkarmak için sol üstten başlayıp, çaprazlama ileri-geri giderek, 2/2 gibi zaten seçilmiş sayıya rastladığımızda atlayarak ilerleyebiliriz. Böylece, tam sayılarla kesirler arasında birebir eşleme yaparak, bütün kesirlerin bir listesini yapmış oluruz; daha fazla kesir olabileceğini düşündüğümüz gerçeğine rağmen.

İşin ilginç noktası şurada: Gerçel sayıların tümünün -- yani bir sayı doğrusundaki tüm sayıların -- kesir olmadığını biliyorsunuzdur. Örneğin 2'nin karekökü ya da pi sayısı. Böyle sayılara irrasyonel sayı denir. Çılgın falan olduklarından değil. Kesirlerin, tam sayıların oranları olması nedeniyle rasyonel (oransal) olarak adlandırılmaları, dolayısıyla geriye kalanların rasyonel olmayan anlamında irrasyonel olmasından dolayı.

İrrasyonel sayılar, sonsuza kadar tekrarsız devam eden ondalıklarla temsil edilir. Peki acaba tam sayılarla, hem rasyonel hem de irrasyonel sayıları kapsayan tüm ondalıklı sayılar arasında birebir eşleme yapılabilir mi? Yani, tüm ondalıklı sayıların bir listesini yapabilir miyiz?

Cantor yapılamayacağını gösterdi. Nasıl yapılacağını bilmediğimizden değil, bu mümkün olmadığından. Tüm ondalıklı sayıların listesini yaptığınızı iddia ettiğinizi varsayalım. Listenizde olmayan bir ondalıklı sayı üreterek, aslında başaramadığınızı göstereyim size.

Ondalıklı sayımı basamak basamak oluşturacağım. İlk basamak için, sizin ilk sayınızın ilk basamağına bakacağım. Eğer 1 ise, benimkini 2 alacağım. Değilse benimkini 1 alacağım. İkinci basamağım için, sizin ikinci sayınızın ikinci basamağına bakacağım. Yine eğer sizinki 1 ise benimkini 2 alacağım, değilse benimkini 1 alacağım.

Nasıl ilerlediğini görüyor musunuz? Ürettiğim ondalıklı sayı sizin listede olamaz. Neden? Örneğin sizin 4. sayınız olabilir mi? Hayır, çünkü benim sayımın 4.basamağı sizin 4.sayınızın 4.basamağından farklı. Bu şekilde yapıyorum. Listeniz eksik. Benim ürettiğim ondalıklı sayıyı içermiyor. Ve bana hangi listeyi getirirseniz getirin, aynı şeyi yaparak orada olmayan bir ondalıklı sayı üretebilirim.

Buradan şu şaşırtıcı sonuca ulaşıyoruz: Ondalıklı sayıların listesi yapılamaz. Onlar, tam sayıların sonsuzluğundan daha büyük bir sonsuzluk temsil eder. 2'nin karekökü ve pi sayısı gibi az sayıda irrasyonel sayıya aşina olsak da, irrasyonellerin sonsuzluğu, kesirlerin sonsuzluğundan daha büyüktür. Birisi şöyle demişti: Rasyoneller --kesirler-- gece göğündeki yıldızlar gibidir; irrasyoneller ise oradaki siyahlıktır.

Ayrıca Cantor herhangi bir sonsuz kümenin tüm alt kümelerinden oluşan yeni bir küme oluşturulduğunda, orijinal kümeden daha büyük bir sonsuzluk temsil edeceğini gösterdi. Yani, bir sonsuzluğunuz varsa, daima onun alt kümelerinin kümesinden daha büyük bir sonsuzluk elde edebilirsiniz.

Ondan da daha büyüğünü, onun alt kümelerinin kümesi ile elde ederek devam edebilirsiniz. Dolayısıyla, değişik boyutlardaki sonsuzlukların sayısı sonsuzdur. Bu düşüncelerden rahatsız olan tek kişi siz değilsiniz. Cantor'un zamanındaki büyük matematikçilerin çoğu bu durumdan hiç hoşlanmamıştı. Bu farklı sonsuzlukları saf dışı ederek, onlarsız bir matematik yapmayı denediler. Cantor'un kişiliğine saldırılar bile yapıldı ve bu durum onu öyle kötü etkiledi ki, ağır bir depresyona girdi ve ömrünün ikinci yarısını akıl hastanelerine girip-çıkarak geçirdi. Ama sonunda fikri galip geldi. Bugün artık vazgeçilmez ve muhteşem olarak kabul görüyor. Tüm matematik araştırmacıları bu fikirleri kabul ediyor, tüm üniversitelerin matematik bölümlerinde öğretiliyor ve bunları size bir kaç dakika içinde açıkladım. Belki bir gün, bunlar herkesçe bilinir olacak.

Dahası var. Ondalık sayılar kümesinin -yani gerçel sayıların- tam sayılar kümesinden daha büyük bir sonsuzluk olduğunu gösterdik. Cantor, büyüklüğü bu iki sonsuzluğun arasında olan başka sonsuzluklar olup olmadığını merak etmişti. Olabileceğine inanmıyordu, fakat bunu kanıtlayamadı.

Cantor'un tahmini "süreklilik hipotezi" olarak bilinir. 1900 yılında, büyük matematikçi David Hilbert "süreklilik hipotezi"nin matematikteki çözülmemiş en önemli problem olduğunu belirtmişti. 20.yüzyıl bu probleme bir çözüm önerdi, ama bütünüyle beklenmedik, taşları yerinden oynatan bir biçimde.

1920'lerde, Kurt Gödel "süreklilik hipotezi"nin yanlış olduğunun kanıtlanmasının mümkün olmadığını gösterdi. Ardından 1960'larda, Paul J. Cohen "süreklilik hipotezi"nin doğruluğunun asla kanıtlanamayacağını gösterdi. Bu ikisi birleştirildiğinde, matematikte çözülmesi olanaksız problemler olduğu sonucu çıkıyordu. Son derece çarpıcı bir sonuç.